Упр.8 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 3^x=1+y^2; б) 2^x-1=y^2;
в) x^2-y^2=91; г) 2^x+1=y^2.

Подробный ответ

а) $$3^x=1+y^2.$$
Так как $$3^x$$ — степень числа 3, то правая часть должна быть степенью тройки. Проверим возможные значения:
при $$x=0$$ имеем $$3^0=1,$$ тогда $$1+y^2=1,$$ откуда $$y^2=0,$$ значит $$y=0.$$
При $$x\ge 1$$ число $$3^x-1$$ не является квадратом целого числа. Следовательно, единственное решение:
$$x=0,\ y=0.$$
б) $$2^x-1=y^2.$$
Проверим малые значения $$x$$:
$$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad y^2=0,\quad y=0;$$
$$x=1:\quad 2^1-1=1,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1.$$
При $$x\ge 2$$ число $$2^x-1$$ нечётно. Квадрат целого числа тоже может быть нечётным, но для степеней двойки получаем:
$$2^x=y^2+1.$$
Если $$x\ge 2,$$ то $$2^x$$ делится на 4, а число $$y^2+1$$ при целых $$y$$ не может быть равно степени двойки больше 2 без противоречия по чётности. Значит, других решений нет.
Итак, решения:
$$ (0,0),\ (1,1),\ (1,-1). $$
в) $$x^2-y^2=91.$$
Разложим на множители:
$$ (x-y)(x+y)=91. $$
Так как $$91=1\cdot 91=7\cdot 13,$$ рассмотрим пары делителей числа 91:
$$x-y=1,\quad x+y=91 \Rightarrow x=46,\ y=45;$$
$$x-y=7,\quad x+y=13 \Rightarrow x=10,\ y=3;$$
и с отрицательными делителями:
$$x-y=-1,\quad x+y=-91 \Rightarrow x=-46,\ y=-45;$$
$$x-y=-7,\quad x+y=-13 \Rightarrow x=-10,\ y=-3.$$
Также возможны перестановки знаков у пар, дающие те же произведения:
$$ (46,-45),\ (-46,45),\ (10,-3),\ (-10,3). $$
г) $$2^x+1=y^2.$$
Перенесём 1:
$$2^x=y^2-1=(y-1)(y+1).$$
Правая часть — произведение двух соседних чётных чисел, значит одно из них делится на 2, а другое на 4. Чтобы произведение было степенью двойки, оба множителя должны быть степенями двойки.
Пусть $$y$$ нечётно: $$y=2k+1.$$ Тогда
$$2^x=(2k)(2k+2)=4k(k+1).$$
Так как $$k$$ и $$k+1$$ — соседние числа, одно из них чётное, другое нечётное. Чтобы произведение было степенью двойки, нужно $$k=1,$$ тогда
$$2^x=4\cdot 1\cdot 2=8,\quad x=3.$$
Тогда
$$y^2=2^3+1=9,\quad y=\pm 3.$$