Упр.8 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Постройте график функции:
а) y=log(4; x); б) y=log(1/5; x-1);
в) y=log(5; x); г) y=log(1/4; x)+1.
3) Какое число больше:
а) lg(7) или 3lg(2); б) log(1/3; 5) или log(1/3; 6);
в) log(3; 5) или log(3; 6); г) log(2; 3) или log(3; 2)?

1. Функцию, заданную формулой $$y=\log_a x,$$ называют логарифмической функцией с основанием $$a,$$ где $$a>0,$$ $$a\ne 1.$$

   Основные свойства:

   • область определения: $$D(x)=(0;+\infty);$$
   • область значений: $$E(y)=\mathbb{R};$$
   • при $$a>1$$ функция возрастает;
   • при $$0<a<1$$ функция убывает.

2. Построим графики, используя свойства логарифмической функции и преобразования графиков.

   а) $$y=\log_4 x.$$ Это возрастающая логарифмическая функция, проходит через точки $$\left(1;0\right),$$ $$\left(4;1\right),$$ $$\left(\frac14;-1\right).$$

   б) $$y=\log_{\frac15}(x-1).$$ График $$y=\log_{\frac15}x$$ сдвинут вправо на $$1$$. Область определения: $$x>1.$$ Вертикальная асимптота: $$x=1.$$

   в) $$y=\log_5 x.$$ Это возрастающая логарифмическая функция, проходит через точки $$\left(1;0\right),$$ $$\left(5;1\right),$$ $$\left(\frac15;-1\right).$$

   г) $$y=\log_{\frac14}x+1.$$ График $$y=\log_{\frac14}x$$ сдвинут вверх на $$1.$$ Область определения: $$x>0.$$ Вертикальная асимптота: $$x=0.$$

3. Сравним числа.

   а) $$3\lg 2=\lg 2^3=\lg 8,$$ а так как $$7<8,$$ то $$\lg 7<\lg 8.$$ Значит, больше $$3\lg 2.$$

   б) Так как $$\frac13<1$$ и $$5<6,$$ то при основании $$\frac13$$ логарифмическая функция убывает, значит

   $$\log_{\frac13}5>\log_{\frac13}6.$$

   Больше $$\log_{\frac13}5.$$

   в) Так как $$3>1$$ и $$5<6,$$ то логарифмическая функция возрастает, значит

   $$\log_3 5<\log_3 6.$$

   Больше $$\log_3 6.$$

   г) $$\log_3 2=1:\log_2 3,$$ а так как $$\log_2 3>1,$$ то

   $$\frac{1}{\log_2 3}<1.$$

   Следовательно, больше $$\log_2 3.$$

Ответ

1) $$y=\log_a x,$$ $$a>0,$$ $$a\ne 1.$$ Область определения: $$x>0.$$ Область значений: $$\mathbb{R}.$$ При $$a>1$$ функция возрастает, при $$0<a<1$$ убывает.

3) а) $$3\lg 2$$; б) $$\log_{\frac13}5$$; в) $$\log_3 6$$; г) $$\log_2 3.$$