Упр.8 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Дайте определение логарифмической функции и перечислите ее основные свойства.
2. Постройте график функции:
   а) $$y=\log_4 x$$;
   б) $$y=\log_{\frac{1}{5}}(x-1)$$;
   в) $$y=\log_5 x$$;
   г) $$y=\log_{\frac{1}{4}}x+1$$.
3. Какое число больше:
   а) $$\lg 7$$ или $$3\lg 2$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{3}}5$$ или $$\log_{\frac{1}{3}}6$$;
   в) $$\log_3 5$$ или $$\log_3 6$$;
   г) $$\log_2 3$$ или $$\log_3 2$$?

1) Функцию, заданную формулой $$y=\log_a x,$$ называют логарифмической функцией с основанием $$a,$$ где $$a>0,$$ $$a\ne 1.$$

Основные свойства:

• область определения: $$D(x)=(0;+\infty);$$
• область значений: $$E(y)=\mathbb{R};$$
• при $$a>1$$ функция возрастает;
• при $$0<a<1$$ функция убывает.

2) Построим графики функций.

1. $$y=\log_4 x,$$ так как $$4>1,$$ график возрастает; проходит через точки $$\left(1;0\right),\ \left(4;1\right),\ \left(\frac14;-1\right).$$
2. $$y=\log_{\frac15}(x-1).$$ Это график $$y=\log_{\frac15}x,$$ сдвинутый вправо на $$1.$$
   Область определения: $$x>1.$$ Асимптота: $$x=1.$$
   График убывает и проходит через точки $$\left(2;0\right),\ \left(6;-1\right),\ \left(\frac65;1\right).$$
3. $$y=\log_5 x,$$ так как $$5>1,$$ график возрастает; проходит через точки $$\left(1;0\right),\ \left(5;1\right),\ \left(\frac15;-1\right).$$
4. $$y=\log_{\frac14}x+1.$$ Это график $$y=\log_{\frac14}x,$$ сдвинутый вверх на $$1.$$
   Так как $$\frac14<1,$$ график убывает; проходит через точки $$\left(1;1\right),\ \left(\frac14;2\right),\ \left(4;0\right).$$

3) Сравним числа.

1. $$3\lg 2=\lg 2^3=\lg 8.$$
   Так как $$7<8,$$ а логарифмическая функция с основанием $$10>1$$ возрастает, то
   $$\lg 7<\lg 8.$$
   Значит, больше $$3\lg 2.$$
2. Так как $$\frac13<1$$ и $$5<6,$$ а при основании $$\frac13<1$$ логарифмическая функция убывает, то
   $$\log_{\frac13}5>\log_{\frac13}6.$$
   Значит, больше $$\log_{\frac13}5.$$
3. Так как $$3>1$$ и $$5<6,$$ а при основании $$3>1$$ логарифмическая функция возрастает, то
   $$\log_3 5<\log_3 6.$$
   Значит, больше $$\log_3 6.$$
4. $$\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}.$$
   Так как $$\log_2 3>1,$$ то
   $$\frac{1}{\log_2 3}<1.$$
   Следовательно, больше $$\log_2 3.$$

Ответ

1) $$y=\log_a x$$ — логарифмическая функция; $$D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=\mathbb{R}.$$ При $$a>1$$ она возрастает, при $$0<a<1$$ убывает.

2) Графики: а) $$y=\log_4 x$$; б) $$y=\log_{\frac15}(x-1)$$; в) $$y=\log_5 x$$; г) $$y=\log_{\frac14}x+1.$$

3) а) $$3\lg 2$$; б) $$\log_{\frac13}5$$; в) $$\log_3 6$$; г) $$\log_2 3.$$