Упр.8 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.
3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:
а) y=x/(x^2+9); б) y=3x-sin(3x);
в) y=x^4-4x; г) y=x^2+16/x.
1) Формула Лагранжа:
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \qquad c\in(a;b).$$
2) Если $$f'(x)>0$$ на интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если $$f'(x)<0$$ на интервале, то функция убывает на этом интервале.
3) Исследуем функции на возрастание и убывание.
$$y=\frac{x}{x^2+9}, \qquad x\in \mathbb{R}.$$
$$y'(x)=\frac{x^2+9-2x^2}{(x^2+9)^2}=\frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется числителем:
$$9-x^2\ge 0 \iff x^2\le 9 \iff -3\le x\le 3.$$
Значит, функция возрастает на $$[-3;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-3] \cup [3;+\infty).$$
$$y=3x-\sin 3x.$$
$$y'(x)=3-3\cos 3x=3(1-\cos 3x)\ge 0,$$
так как $$\cos 3x\le 1$$ при всех $$x.$$ Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
$$y=x^4-4x.$$
$$y'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1).$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется множителем $$x-1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
$$y=x^2+\frac{16}{x}, \qquad x\ne 0.$$
$$y'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2x^3-16}{x^2}=\frac{2(x^3-8)}{x^2}=\frac{2(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$ и $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется множителем $$x-2.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$
Ответ
1) $$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, \ c\in(a;b).$$
2) Если $$f'(x)>0$$, то функция возрастает; если $$f'(x)<0$$, то функция убывает.
3) а) возрастает на $$[-3;3]$$, убывает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty);$$
б) возрастает на $$\mathbb{R};$$
в) убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty);$$
г) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty).$$
