Упр.8 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Вычислите:
а) sin(2?), если cos(?)=-4/5, ? < ? < 3?/2; б) tg(2?), если sin(?)=12/13, cos(?) < 0; в) cos(2?), если sin(?)=15/17; г) tg(2?), если cos(?)=3/5, 3?/2 < ? < 2?. 3) Докажите тождество: а) 2tg(?)/(1-tg^2(?))(2cos^2(?)-1)=sin(2?); б) (1-cos(2?)+sin(2?))/(1+cos(2?)+sin(2?))=tg(?); в) 1-(cos(?)-sin(?))^2=sin(2?); г) tg(?)(1+cos(2?))=sin(2?).

1. Формулы двойного аргумента:

   $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

   $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

   $$\cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha$$

   $$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$$

   $$\tg 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$$

2. Вычислим значения.

   а) $$\sin 2\alpha,\ \cos\alpha=-\frac45,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$

   Так как $\alpha$ в III четверти, то $$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35.$$

   Тогда

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac45\right)=\frac{24}{25}.$$

   б) $$\tg 2\alpha,\ \sin\alpha=\frac{12}{13},\ \cos\alpha<0$$

   Значит, $\alpha$ во II четверти, поэтому

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}.$$

   Следовательно,

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)}{1-\left(-\frac{12}{5}\right)^2}=\frac{-\frac{24}{5}}{1-\frac{144}{25}}=\frac{-\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}}=\frac{120}{119}.$$

   в) $$\cos 2\alpha,\ \sin\alpha=\frac{15}{17}$$

   Находим

   $$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}.$$

   Тогда

   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{64}{289}-\frac{225}{289}=-\frac{161}{289}.$$

   г) $$\tg 2\alpha,\ \cos\alpha=\frac35,\ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$

   Так как $\alpha$ в IV четверти, то

   $$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac45.$$

   Тогда

   $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac43.$$

   Следовательно,

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\left(-\frac43\right)}{1-\left(-\frac43\right)^2}=\frac{-\frac83}{1-\frac{16}{9}}=\frac{-\frac83}{-\frac79}=\frac{24}{7}.$$

3. Докажем тождества.

   а)

   $$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\,(2\cos^2\alpha-1)=\tg 2\alpha\cdot\cos 2\alpha.$$

   Так как $$\tg 2\alpha\cdot\cos 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\cdot\cos 2\alpha=\sin 2\alpha,$$ то тождество верно.

   б)

   $$\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}=\tg\alpha.$$

   Подставим формулы двойного угла:

   $$\frac{1-(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}{1+(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}$$

   $$=\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$$

   $$=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha.$$

   в)

   $$1-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\sin 2\alpha.$$

   Раскроем квадрат:

   $$1-(\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha)=1-(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha.$$

   Так как $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,$$ получаем

   $$2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha.$$

   г)

   $$\tg\alpha(1+\cos 2\alpha)=\sin 2\alpha.$$

   Используем формулу $$1+\cos 2\alpha=1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha.$$ Тогда

   $$\tg\alpha(1+\cos 2\alpha)=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot 2\cos^2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha.$$

Ответ

1) $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\!1-2\sin^2\alpha=\!2\cos^2\alpha-1,\ \tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
2) а) $$\frac{24}{25}$$; б) $$\frac{120}{119}$$; в) $$-\frac{161}{289}$$; г) $$\frac{24}{7}$$.
3) Все тождества верны.