Упр.8 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы двойного аргумента.
- Вычислите:
а) $$\sin 2\alpha$$, если $$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$$, $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$; б) $$\tan 2\alpha$$, если $$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$, $$\cos\alpha<0$$; в) $$\cos 2\alpha$$, если $$\sin\alpha=\frac{15}{17}$$; г) $$\tan 2\alpha$$, если $$\cos\alpha=\frac{3}{5}$$, $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$. - Докажите тождество:
а) $$\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}(2\cos^2\alpha-1)=\sin 2\alpha$$;
б) $$\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}=\tan\alpha$$;
в) $$1-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\sin 2\alpha$$;
г) $$\tan\alpha(1+\cos 2\alpha)=\sin 2\alpha$$.
1) Формулы двойного аргумента:
$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
$$\cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha$$
$$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$$
$$\tg 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$$
2) Вычислим значения.
$$\sin 2\alpha,\quad \cos\alpha=-\frac45,\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$
Так как $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\sin\alpha<0$$:
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35$$
Тогда
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac45\right)=\frac{24}{25}$$
$$\tg 2\alpha,\quad \sin\alpha=\frac{12}{13},\quad \cos\alpha<0$$
Значит, $$\alpha$$ во II четверти, поэтому
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\frac{5}{13}$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}$$
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)}{1-\left(-\frac{12}{5}\right)^2}=\frac{-\frac{24}{5}}{1-\frac{144}{25}}=\frac{-\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}}=\frac{120}{119}$$
$$\cos 2\alpha,\quad \sin\alpha=\frac{15}{17}$$
$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}$$
Тогда
$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{64}{289}-\frac{225}{289}=-\frac{161}{289}$$
$$\tg 2\alpha,\quad \cos\alpha=\frac35,\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$$
Так как $$\alpha$$ в IV четверти, то $$\sin\alpha<0$$:
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac45$$
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac43$$
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\left(-\frac43\right)}{1-\left(-\frac43\right)^2}=\frac{-\frac83}{1-\frac{16}{9}}=\frac{-\frac83}{-\frac79}=\frac{24}{7}$$
3) Докажем тождества.
$$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\,(2\cos^2\alpha-1)=\sin 2\alpha$$
Так как $$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\tg 2\alpha$$ и $$2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha$$, то левая часть равна
$$\tg 2\alpha\cdot\cos 2\alpha=\sin 2\alpha$$
что и требовалось доказать.
$$\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}=\tg\alpha$$
Подставим формулы двойного угла:
$$\frac{1-(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}{1+(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}$$
$$=\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$$
$$=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha$$
$$1-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\sin 2\alpha$$
Раскроем квадрат:
$$1-(\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha)$$
$$=1-\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$$
$$\tg\alpha(1+\cos 2\alpha)=\sin 2\alpha$$
Используем $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$:
$$\tg\alpha(1+\cos 2\alpha)=\tg\alpha\,(1+2\cos^2\alpha-1)=2\tg\alpha\cos^2\alpha$$
$$=2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cos^2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$$
Ответ: 1) формулы двойного аргумента записаны выше; 2) а) $$\frac{24}{25}$$, б) $$\frac{120}{119}$$, в) $$-\frac{161}{289}$$, г) $$\frac{24}{7}$$; 3) все тождества верны.
