Упр.8 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите в целых числах уравнения: а) $$3^x=1+y^2$$; б) $$2^x-1=y^2$$; в) $$x^2-y^2=91$$; г) $$2^x+1=y^2$$.

а) $$3^x=1+y^2$$

Так как $$3^x$$ при целых $$x$$ — степень числа $$3$$, а правая часть должна быть кратна $$3$$, получаем:

$$1+y^2=3k,\qquad y^2=3k-1.$$

Квадрат целого числа по модулю $$3$$ может давать только $$0$$ или $$1$$, значит из равенства $$y^2=3k-1$$ возможно лишь $$y^2=0$$. Тогда $$y=0$$ и

$$3^x=1,\qquad x=0.$$

Ответ: $$(0;0).$$

б) $$2^x-1=y^2$$

Проверим малые значения $$x$$:

$$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad y=0;$$

$$x=1:\quad 2^1-1=1,\quad y=\pm1.$$

При $$x\ge 2$$ число $$2^x-1$$ нечётно. Квадрат целого числа тоже может быть нечётным, но тогда он сравним с $$1$$ по модулю $$8$$. Однако

$$2^x-1\equiv -1 \equiv 7 \pmod 8$$

при $$x\ge 3$$, а это невозможно для квадрата. Значит, других решений нет.

Ответ: $$(0;0),\ (1;1),\ (1;-1).$$

в) $$x^2-y^2=91$$

Разложим разность квадратов:

$$(x-y)(x+y)=91.$$

Число $$91$$ разлагается на пары целых множителей:

$$91=1\cdot 91=7\cdot 13.$$

Рассмотрим все возможные пары с одинаковой чётностью:

$$x-y=1,\quad x+y=91 \Rightarrow x=46,\ y=45;$$

$$x-y=91,\quad x+y=1 \Rightarrow x=46,\ y=-45;$$

$$x-y=7,\quad x+y=13 \Rightarrow x=10,\ y=3;$$

$$x-y=13,\quad x+y=7 \Rightarrow x=10,\ y=-3.$$

Также возможны отрицательные пары множителей, дающие ещё четыре решения:

$$(-46;-45),\ (-46;45),\ (-10;-3),\ (-10;3).$$

Ответ: $$(46;45),\ (46;-45),\ (-46;-45),\ (-46;45),\ (10;3),\ (10;-3),\ (-10;-3),\ (-10;3).$$

г) $$2^x+1=y^2$$

Перепишем:

$$2^x=y^2-1=(y-1)(y+1).$$

Правая часть — произведение двух соседних чётных чисел, значит одно из них делится на $$4$$, а другое на $$2$$. Чтобы произведение было степенью двойки, оба множителя должны быть степенями двойки. Проверим возможный случай:

$$y-1=2^m,\qquad y+1=2^n.$$

Тогда

$$2^n-2^m=2,$$

откуда подходит только $$m=1,\ n=2$$, то есть

$$y-1=2,\quad y+1=4,\quad y=3.$$

Тогда

$$2^x=3^2-1=8,\qquad x=3.$$

При $$y=-3$$ получаем то же значение $$y^2=9$$, значит решение также подходит.

Ответ: $$(3;3),\ (3;-3).$$