Упр.79 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите чётность (нечётность) функции:

а) $$y=x^3-3x$$; б) $$y=\frac{5x^3}{1-x^2}$$; в) $$y=x^4(x^2+2)$$; г) $$y=\frac{|x|+2}{x^2}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x.$$

Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{5x^3}{1-x^2}.$$

Область определения: $$1-x^2\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\frac{5(-x)^3}{1-(-x)^2}=\frac{-5x^3}{1-x^2}=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

в) Рассмотрим функцию $$y=x^4(x^2+2).$$

Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=(-x)^4\bigl((-x)^2+2\bigr)=x^4(x^2+2)=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

г) Рассмотрим функцию $$y=\frac{|x|+2}{x^2}.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\frac{|-x|+2}{(-x)^2}=\frac{|x|+2}{x^2}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

Ответ: а) нечётная; б) нечётная; в) чётная; г) чётная.