Упр.79 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите последовательность преобразований, с помощью которых из графика функции $$f$$ может быть получен график функции $$?$$:
а) $$f(x)=\sin(x)$$, $$?(x)=\sin(x)+\cos(x)$$;
б) $$f(x)=\sin^2(x)$$, $$?(x)=\sin^4(x)+\cos^4(x)$$.
а) $$\varphi(x)=\sin x+\cos x.$$
Представим сумму в виде одной тригонометрической функции:
$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$
Значит, график функции $$\varphi(x)$$ получается из графика $$f(x)=\sin x$$ сдвигом на $$\frac{\pi}{4}$$ единицы влево и растяжением вдоль оси $$Oy$$ в $$\sqrt{2}$$ раза.
б) $$\varphi(x)=\sin^4 x+\cos^4 x.$$
Преобразуем выражение:
$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x =1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, то
$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x,$$
следовательно,
$$\varphi(x)=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x.$$
Последовательность преобразований графика $$f(x)=\sin^2 x$$ к графику $$\varphi(x)$$:
- отразить график относительно оси $$Ox$$;
- сжать его в 2 раза вдоль оси $$Oy$$;
- сжать его в 2 раза вдоль оси $$Ox$$;
- переместить его на 1 единицу вверх.
Ответ: а) сдвиг влево на $$\frac{\pi}{4}$$ и растяжение вдоль $$Oy$$ в $$\sqrt{2}$$ раза; б) отражение относительно $$Ox$$, сжатие в 2 раза вдоль $$Oy$$, сжатие в 2 раза вдоль $$Ox$$, сдвиг на 1 единицу вверх.
