Упр.78 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=(x-4)/(x^3-x); б) y=x^2+4/(x-1);
в) y=x/2-2/x; г) y=1/(3x^3-2x^2+5).

Подробный ответ

а) $$y=\frac{x-4}{x^3-x}$$
Функция непрерывна там, где знаменатель не равен нулю:
$$x^3-x\ne 0$$
$$x(x^2-1)\ne 0$$
$$x(x-1)(x+1)\ne 0$$
Следовательно, $$x\ne -1,\; x\ne 0,\; x\ne 1.$$
Значит, промежутки непрерывности:
$$(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
б) $$y=x^2+\frac{4}{x-1}$$
Непрерывность нарушается только при
$$x-1\ne 0,$$
то есть при $$x\ne 1.$$
Следовательно, функция непрерывна на промежутках
$$(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
в) $$y=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}$$
Здесь требуется, чтобы
$$x\ne 0.$$
Значит, промежутки непрерывности:
$$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
г) $$y=\frac{1}{3x^3-2x^2+5}$$
Найдём, при каких значениях знаменатель равен нулю:
$$3x^3-2x^2+5\ne 0$$
$$3(x^3+1)-2(x^2-1)\ne 0$$
$$3(x+1)(x^2-x+1)-2(x+1)(x-1)\ne 0$$
$$ (x+1)(3x^2-5x+5)\ne 0.$$
Так как $$3x^2-5x+5>0$$ при всех $$x,$$ то знаменатель обращается в нуль только при $$x=-1.$$
Следовательно, функция непрерывна на промежутках
$$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$