Упр.76 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим, выполняется ли для каждой функции равенство $$y(x+2)=y(x)$$ при всех $$x$$.

а)

$$y=x^2-3$$

$$y(x+2)=(x+2)^2-3=x^2+4x+1$$

Тогда должно быть

$$x^2+4x+1=x^2-3$$

$$4x=-4$$

$$x=-1$$

Равенство выполняется только при одном значении $$x$$, значит, число $$2$$ не является периодом функции $$y=x^2-3$$.

б)

$$y=\cos x$$

$$y(x+2)=\cos(x+2)$$

Чтобы число $$2$$ было периодом, должно выполняться

$$\cos(x+2)=\cos x$$

для всех $$x$$, но это неверно. Следовательно, число $$2$$ не является периодом функции $$y=\cos x$$. При этом функция периодическая, её период равен $$2\pi$$.

в)

$$y=3x-5$$

$$y(x+2)=3(x+2)-5=3x+1$$

Тогда нужно, чтобы

$$3x+1=3x-5$$

$$0=-6$$

Получили неверное равенство, значит, число $$2$$ не является периодом функции $$y=3x-5$$.

г)

$$y=|x|$$

$$y(x+2)=|x+2|$$

Чтобы число $$2$$ было периодом, должно выполняться

$$|x+2|=|x|$$

для всех $$x$$, но это неверно. Например, при $$x=0$$ получаем $$|2|\ne|0|$$. Значит, число $$2$$ не является периодом функции $$y=|x|$$.

Ответ: число $$2$$ не является периодом ни одной из данных функций.