Упр.74 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 74. Докажите, что: а) график четной функции симметричен относительно оси ординат; б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

а) Пусть точка $$A(x;y)$$ принадлежит графику чётной функции. Тогда $$y=f(x)$$. Так как функция чётная, то для любого $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=f(x)$$. Значит, $$f(-x)=y$$, то есть точка $$B(-x;y)$$ тоже принадлежит графику.

Следовательно, вместе с каждой точкой $$A(x;y)$$ график содержит точку $$B(-x;y)$$, симметричную ей относительно оси ординат. Значит, график чётной функции симметричен относительно оси $$Oy$$.

б) Пусть точка $$A(x;y)$$ принадлежит графику нечётной функции. Тогда $$y=f(x)$$. Для нечётной функции $$f(-x)=-f(x)$$, значит $$f(-x)=-y$$. Следовательно, точка $$B(-x;-y)$$ также принадлежит графику.

Итак, вместе с каждой точкой $$A(x;y)$$ график содержит точку $$B(-x;-y)$$, симметричную ей относительно начала координат. Значит, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции — относительно начала координат.