Упр.73 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания. Задайте формулой: а) объем призмы как функцию стороны основания; б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

Пусть сторона основания призмы равна $$a$$. Тогда все рёбра правильной треугольной призмы равны $$a$$, а высота призмы $$AA_1=a$$.

Ход решения

Площадь основания — площадь равностороннего треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=AA_1\cdot S_{ABC}=a\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

Это и есть формула объёма как функции стороны основания:

$$V(a)=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

Теперь выразим $$a$$ через объём:

$$V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4} \quad \Rightarrow \quad a^3=\frac{4V}{\sqrt{3}}.$$

Площадь боковой поверхности правильной призмы:

$$S=3\cdot AA_1\cdot AB=3a\cdot a=3a^2.$$

Подставим найденное выражение для $$a$$:

$$a^2=\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{2}{3}}.$$

Тогда

$$S(V)=3\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{2}{3}}.$$

Можно записать и в виде

$$S(V)=\sqrt[3]{144V^2}.$$

Ответ

$$V(a)=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}, \qquad S(V)=3\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{144V^2}.$$