Упр.73 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём наименьший положительный период каждой функции.

1. $$y=\sin^2 x$$

   Используем формулу:

   $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

   Функция $$\cos 2x$$ имеет период $$\frac{2\pi}{2}=\pi$$, значит и функция $$y=\sin^2 x$$ имеет наименьший положительный период $$T=\pi$$.

2. $$y=\tg x\ctg x$$

   На области определения:

   $$\tg x\ctg x=1.$$

   Следовательно, функция постоянна и её наименьший положительный период можно взять равным $$T=\frac{\pi}{2}$$, так как область определения повторяется с этим шагом.

3. $$y=\sin^4 x-\cos^4 x$$

   Преобразуем:

   $$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
   $$=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x.$$

   Функция $$-\cos 2x$$ имеет период $$\frac{2\pi}{2}=\pi$$.

4. $$y=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2$$

   Раскроем квадрат:

   $$\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2 =\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}$$
   $$=1+\sin x.$$

   Функция $$1+\sin x$$ имеет наименьший положительный период $$T=2\pi$$.

Ответ: а) $$\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$\pi$$; г) $$2\pi$$.