Упр.72 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) площадь трапеции как функцию боковой стороны;
б) периметр трапеции как функцию ее высоты.

Обозначим боковую сторону трапеции через $$a$$. Тогда по условию

$$AB=BC=CD=a,\qquad \angle BAD=30^\circ.$$

Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$AH=AB\cos 30^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2},$$

$$BH=AB\sin 30^\circ=a\cdot \frac12=\frac{a}{2}.$$

Так как трапеция равнобедренная, то

$$AD=BC+2AH=a+2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a+a\sqrt{3}=a(1+\sqrt{3}).$$

а) Площадь трапеции как функция боковой стороны:

$$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH$$

$$S=\frac{a+a(1+\sqrt{3})}{2}\cdot \frac{a}{2}$$

$$S=\frac{a(2+\sqrt{3})}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}(2+\sqrt{3}).$$

б) Периметр трапеции как функция её высоты:

Пусть высота трапеции равна $$h$$. Тогда

$$h=BH=\frac{a}{2},\qquad a=2h.$$

Основание

$$AD=a(1+\sqrt{3})=2h(1+\sqrt{3}).$$

Периметр:

$$P=AB+BC+CD+AD=3a+AD.$$

Подставим $$a=2h$$:

$$P=3\cdot 2h+2h(1+\sqrt{3})=6h+2h+2h\sqrt{3}=2h(4+\sqrt{3}).$$

Ответ

$$S(a)=\frac{a^2}{4}(2+\sqrt{3}),\qquad P(h)=2h(4+\sqrt{3}).$$