Упр.70 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 70. Среди функций вида: а) y=1/(ax+b); б) y=(ax+b)/(cx+d) — найдите все, совпадающие с обратными к самим себе.

а) Пусть $$f(x)=\dfrac{1}{ax+b}.$$

Функция совпадает со своей обратной, если $$f(f(x))=x.$$ Тогда

$$ f(f(x))=\frac{1}{\frac{a}{ax+b}+b} =\frac{ax+b}{a+b(ax+b)}. $$

Приравниваем к $$x$$:

$$ \frac{ax+b}{a+b(ax+b)}=x. $$

После умножения на знаменатель получаем

$$ ax+b=x\bigl(a+b(ax+b)\bigr)=ax+abx^2+bx^2. $$

Отсюда

$$ b=abx^2+bx^2. $$

Чтобы равенство выполнялось при всех допустимых $$x$$, нужно $$b=0$$. Тогда

$$ f(x)=\frac{1}{ax}, \qquad a\ne 0. $$

б) Пусть $$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}.$$ Требуем, чтобы $$f(f(x))=x.$$

Вычислим:

$$ f(f(x))= \frac{a\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+d} = \frac{a(ax+b)+b(cx+d)}{c(ax+b)+d(cx+d)}. $$

После раскрытия скобок:

$$ f(f(x))= \frac{a^2x+ab+bcx+bd}{acx+bc+d cx+d^2} = \frac{(a^2+bc)x+(ab+bd)}{(ac+cd)x+(bc+d^2)}. $$

Так как это должно равняться $$x$$, получаем систему условий:

$$ a^2+bc=ac+cd,\qquad ab+bd=0,\qquad bc+d^2\ne 0. $$

Из равенства коэффициентов при $$x^2$$ и $$x$$ следует, что

$$ a=d,\qquad bc=-a^2. $$

Тогда

$$ f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}, \qquad bc=-a^2. $$

Кроме того, при $$c=0$$ получаем частный случай

$$ f(x)=\frac{ax+b}{-a}= \pm x, $$
то есть функции $$y=x$$ и $$y=-x$$.

Ответ

а) $$y=\dfrac{1}{ax},\ a\ne 0.$$

б) $$y=\dfrac{ax+b}{cx-a},\ bc=-a^2,$$ а также $$y=x$$ и $$y=-x.$$