Упр.70 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите и найдите приближенное значение выражения $$\log(3; 2)\cdot\log(4; 3)\cdot\log(5; 4)\cdot\log(6; 5)\cdot\ldots\cdot\log(10; 9)$$.

Преобразуем произведение:

$$S=\log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \log_5 4\cdot \log_6 5\cdot \ldots \cdot \log_{10} 9.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

Тогда

$$S=\frac{\log_3 2}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 6}\cdot \frac{\log_7 6}{\log_7 8}\cdot \frac{\log_9 8}{\log_9 10}.$$

Сократим по цепочке:

$$S=\log_4 2\cdot \log_6 4\cdot \log_8 6\cdot \log_{10} 8.$$

Далее

$$\log_4 2=\frac12,\qquad \log_6 4\cdot \log_8 6=\log_8 4,\qquad \log_8 4\cdot \log_{10} 8=\log_{10} 4.$$

Значит,

$$S=\frac12\log_{10}4=\log_{10}2=\lg 2.$$

Приближённо:

$$\lg 2\approx 0{,}3010.$$

Ответ: $$0{,}3010.$$