Упр.70 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Среди функций вида: а) $$y=\frac{1}{ax+b}$$; б) $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ — найдите все, совпадающие с обратными к самим себе.

Рассмотрим функции, которые совпадают со своими обратными, то есть для них выполняется $$f(f(x))=x.$$

а)

Пусть

$$f(x)=\frac{1}{ax+b}.$$

Тогда

$$f(f(x))=\frac{1}{a\cdot \frac{1}{ax+b}+b}=\frac{ax+b}{a+b(ax+b)}.$$

Требуем, чтобы

$$\frac{ax+b}{a+b(ax+b)}=x.$$

Умножим на знаменатель:

$$ax+b=x\bigl(a+b(ax+b)\bigr)=ax+abx^2+bx^2.$$

Получаем

$$b=abx^2+bx^2=b x^2(a+1).$$

Чтобы равенство выполнялось при всех допустимых $$x$$, нужно $$b=0$$. Тогда

$$f(x)=\frac{1}{ax}, \qquad a\ne 0.$$

б)

Пусть

$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}.$$

Тогда

$$f(f(x))=\frac{a\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+d}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$f(f(x))=\frac{a(ax+b)+b(cx+d)}{c(ax+b)+d(cx+d)}.$$

После раскрытия скобок имеем

$$f(f(x))=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{(ac+dc)x+(bc+d^2)}.$$

Так как $$f(f(x))=x$$, то

$$\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{(ac+dc)x+(bc+d^2)}=x.$$

Следовательно,

$$(a^2+bc)x+b(a+d)=x\bigl((ac+dc)x+(bc+d^2)\bigr).$$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$, получаем систему:

$$\begin{cases} ac+dc=0,\\ a^2+bc=bc+d^2,\\ b(a+d)=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$c(a+d)=0.$$

Если $$c\ne 0$$, то $$a+d=0$$, то есть $$d=-a$$. Тогда из второго уравнения

$$a^2=d^2,$$

что выполняется, а из третьего уравнения получаем

$$b(a+d)=0,$$

то есть оно тоже верно. Значит,

$$f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}.$$

При этом для нетривиального случая должно быть

$$bc\ne -a^2.$$

Кроме того, возможен случай $$c=0$$. Тогда

$$f(x)=\frac{ax+b}{d}.$$

Из условия $$f(f(x))=x$$ получаем линейную функцию вида

$$f(x)=\pm x,$$

то есть

$$f(x)=x \quad \text{или} \quad f(x)=-x.$$

Ответ:

а) $$y=\frac{1}{ax}, \quad a\ne 0.$$

б) $$y=\frac{ax+b}{cx-a}, \quad bc\ne -a^2,$$ а также $$y=x$$ и $$y=-x.$$