Упр.70 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

log(3; 2)·log(4; 3)·log(5; 4)·log(6; 5)·…·log(10; 9).

Обозначим

$$S=\log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \log_5 4\cdot \log_6 5\cdot \ldots \cdot \log_{10} 9.$$

Перейдём к логарифмам по одному основанию:

$$S=\frac{\log_3 2}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 6}\cdot \frac{\log_7 6}{\log_7 8}\cdot \frac{\log_9 8}{\log_9 10}.$$

Используем формулу $$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$ и свойство $$\log_a b\cdot \log_b c=\log_a c.$$ Тогда

$$S=\log_4 2\cdot \log_6 4\cdot \log_8 6\cdot \log_{10} 8.$$

Снова преобразуем:

$$S=\frac{1}{2}\log_6 4\cdot \log_{10} 8=\frac{1}{2}\log_{10} 4.$$

Так как $$\log_{10} 4=\lg 4=2\lg 2,$$ то

$$S=\frac{1}{2}\lg 4=\lg 2\approx 0{,}3010.$$

Ответ

$$0{,}3010$$