Упр.70 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим чётность каждой функции по определению: область определения должна быть симметричной относительно нуля, а затем сравним $$f(-x)$$ и $$f(x)$$.

1. $$y=\frac{\sin x}{x^3-1}$$

   Область определения задаётся условием $$x^3-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne 1.$$

   Тогда область определения несимметрична: число $$-1$$ принадлежит области определения, а число $$1$$ — нет. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

2. $$y=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}$$

   Область определения задаётся условием $$x-\sin x\ne 0.$$ Это равенство выполняется только при $$x=0,$$ значит, $$x\ne 0.$$

   Область определения $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ симметрична. Найдём:

   $$f(-x)=\frac{-x+\sin x}{-x-\sin x} =\frac{x-\sin x}{x+\sin x} \ne f(x),$$

   но

   $$f(-x)\cdot f(x)=1.$$

   Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. $$y=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}$$

   Область определения задаётся условиями $$1-x\ne 0$$ и $$1-x^2\ge 0.$$ Отсюда $$x\ne 1$$ и $$-1\le x\le 1,$$ значит, $$x\in[-1;1).$$

   Область определения несимметрична, так как $$-1$$ принадлежит ей, а $$1$$ — нет. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

4. $$y=\frac{x+\tg x}{x\cos x}$$

   Область определения задаётся условиями $$x\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne 0$$ и $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Эта область симметрична относительно нуля. Найдём:

   $$f(-x)=\frac{-x-\tg x}{-x\cos x} =\frac{x+\tg x}{x\cos x} =f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: а) ни чётная, ни нечётная; б) ни чётная, ни нечётная; в) ни чётная, ни нечётная; г) чётная.