Упр.7 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: а) $$|a|=|-a|$$; б) $$|x|?|x|$$; в) $$|x|^2=x^2$$.

Рассмотрим по определению модуля.

а)

Если $$a \ge 0,$$ то $$|a|=a$$ и $$|-a|=-(-a)=a.$$

Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a$$ и $$|-a|=-a,$$ так как $$-a>0.$$

В обоих случаях получаем $$|a|=|-a|.$$

б)

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит $$x \le |x|.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ а так как $$-x>x,$$ то снова $$x \le |x|.$$

Следовательно, $$x \le |x|$$ при любом $$x.$$

в)

Если $$x \ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ поэтому

$$|x|^2=x^2.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$|x|^2=(-x)^2=x^2.$$

Итак, $$|x|^2=x^2.$$

Ответ

$$|a|=|-a|,\quad x\le |x|,\quad |x|^2=x^2.$$