Упр.7 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. В чем состоит механический смысл производной?
2. Тело движется по прямой согласно закону $$x(t)$$. Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени $$t$$.
3. Найдите скорость и ускорение точки в момент $$t_0$$, если:
   а) $$x(t)=t^3-2t^2+5$$, $$t_0=4$$;
   б) $$x(t)=3\cos(2t)$$, $$t_0=\frac{?}{3}$$;
   в) $$x(t)=5t-t^2$$, $$t_0=2$$;
   г) $$x(t)=2t^2+t-4$$, $$t_0=4$$.

1) Механический смысл производной состоит в том, что производная координаты по времени равна скорости движения, а производная скорости по времени равна ускорению.

2) Если тело движется по прямой по закону $$x(t),$$ то

$$v(t)=x'(t), \qquad a(t)=x»(t).$$

3) Найдём скорость и ускорение в указанные моменты времени.

1. $$x(t)=t^3-2t^2+5,\qquad t_0=4.$$

   $$v(t)=x'(t)=3t^2-4t,$$

   $$v(4)=3\cdot 4^2-4\cdot 4=48-16=32.$$

   $$a(t)=x»(t)=6t-4,$$

   $$a(4)=6\cdot 4-4=24-4=20.$$

2. $$x(t)=3\cos 2t,\qquad t_0=\frac{\pi}{3}.$$

   $$v(t)=x'(t)=-6\sin 2t,$$

   $$v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-6\sin\frac{2\pi}{3}=-6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-3\sqrt3.$$

   $$a(t)=x»(t)=-12\cos 2t,$$

   $$a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-12\cos\frac{2\pi}{3}=-12\cdot\left(-\frac12\right)=6.$$

3. $$x(t)=5t-t^2,\qquad t_0=2.$$

   $$v(t)=x'(t)=5-2t,$$

   $$v(2)=5-4=1.$$

   $$a(t)=x»(t)=-2,$$

   $$a(2)=-2.$$

4. $$x(t)=2t^2+t-4,\qquad t_0=4.$$

   $$v(t)=x'(t)=4t+1,$$

   $$v(4)=16+1=17.$$

   $$a(t)=x»(t)=4,$$

   $$a(4)=4.$$

Ответ: $$v(t)=x'(t),\ a(t)=x»(t);$$

а) $$v(4)=32,\ a(4)=20;$$ б) $$v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-3\sqrt3,\ a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=6;$$ в) $$v(2)=1,\ a(2)=-2;$$ г) $$v(4)=17,\ a(4)=4.$$