Упр.7 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Тело движется по прямой согласно закону x(t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
3) Найдите скорость и ускорение точки в момент t_0, если:
а) x(t)=t^3-2t^2+5, t_0=4; б) x(t)=3cos(2t), t_0=?/3;
в) x(t)=5t-t^2, t_0=2; г) x(t)=2t^2+t-4, t_0=4.

1) Механический смысл производной состоит в том, что производная координаты по времени равна скорости, а производная скорости по времени равна ускорению.

2) Если тело движется по прямой по закону $$x(t),$$ то

$$v(t)=x'(t), \qquad a(t)=x»(t).$$

3) Найдём скорость и ускорение в указанные моменты времени.

1. $$x(t)=t^3-2t^2+5,\quad t_0=4.$$

   $$v(t)=x'(t)=3t^2-4t,$$

   $$v(4)=3\cdot 4^2-4\cdot 4=48-16=32.$$

   $$a(t)=x»(t)=6t-4,$$

   $$a(4)=6\cdot 4-4=24-4=20.$$

2. $$x(t)=3\cos 2t,\quad t_0=\frac{\pi}{3}.$$

   $$v(t)=x'(t)=-6\sin 2t,$$

   $$v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-6\sin\frac{2\pi}{3}=-6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-3\sqrt3.$$

   $$a(t)=x»(t)=-12\cos 2t,$$

   $$a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-12\cos\frac{2\pi}{3}=-12\cdot\left(-\frac12\right)=6.$$

3. $$x(t)=5t-t^2,\quad t_0=2.$$

   $$v(t)=x'(t)=5-2t,$$

   $$v(2)=5-4=1.$$

   $$a(t)=x»(t)=-2,$$

   $$a(2)=-2.$$

4. $$x(t)=2t^2+t-4,\quad t_0=4.$$

   $$v(t)=x'(t)=4t+1,$$

   $$v(4)=16+1=17.$$

   $$a(t)=x»(t)=4,$$

   $$a(4)=4.$$

Ответ

1) Производная координаты по времени — это скорость, производная скорости по времени — ускорение.

2) $$v(t)=x'(t), \quad a(t)=x»(t).$$

3) а) $$v(4)=32,\ a(4)=20.$$
б) $$v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-3\sqrt3,\ a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=6.$$
в) $$v(2)=1,\ a(2)=-2.$$
г) $$v(4)=17,\ a(4)=4.$$