Упр.7 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (разности).
- Найдите значение выражения:
а) $$\sin(?/6+?)$$, если $$\sin(?)=\frac{2}{3}$$ и $$0б) $$\cos(?/12)$$ и $$\operatorname{tg}(?/12)$$;
в) $$\cos(?/3-?)$$, если $$\cos(?)=-\frac{1}{3}$$ и $$?/2 - Докажите тождество:
а) $$\sin(?+?/6)+\sin(?-?/6)=\sqrt{3}\sin(?)$$;
б) $$\operatorname{tg}(?/4+x)-\operatorname{tg}(?/4-x)=2\operatorname{tg}(2x)$$;
в) $$\frac{\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?/3-?)}{1-\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?/3-?)}=\sqrt{3}$$;
г) $$\frac{\sin(?+?)}{\cos(?)\cos(?)}=\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)$$.
1) Формулы сложения:
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$
$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$
2) Найдём значения выражений.
а) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right),\quad \sin\alpha=\frac{2}{3},\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\alpha>0.$$ Тогда
$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.$$
Теперь
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$$
$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt5}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac23=\frac{\sqrt5}{6}+\frac{2\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt5+2\sqrt3}{6}.$$
б) $$\cos\frac{\pi}{12}\ \text{и}\ \tg\frac{\pi}{12}.$$
$$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$$
$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$
$$\tg\frac{\pi}{12}=\tg\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{3}-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg\frac{\pi}{3}\tg\frac{\pi}{4}}$$
$$=\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3.$$
в) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right),\quad \cos\alpha=-\frac13,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то $$\sin\alpha>0.$$ Тогда
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac19}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
Теперь
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha$$
$$=\frac12\cdot\left(-\frac13\right)+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=-\frac16+\frac{2\sqrt6}{6}=\frac{2\sqrt6-1}{6}.$$
3) Докажем тождества.
а) $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\alpha.$$
$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}$$
$$\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}.$$
Складывая, получаем:
$$2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}=2\sin\alpha\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\sin\alpha.$$
б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\tg 2x.$$
$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg x}{1-\tg\frac{\pi}{4}\tg x}=\frac{1+\tg x}{1-\tg x},$$
$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg x}{1+\tg\frac{\pi}{4}\tg x}=\frac{1-\tg x}{1+\tg x}.$$
Тогда
$$\frac{1+\tg x}{1-\tg x}-\frac{1-\tg x}{1+\tg x}$$
$$=\frac{(1+\tg x)^2-(1-\tg x)^2}{1-\tg^2 x}=\frac{4\tg x}{1-\tg^2 x}=2\cdot\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=2\tg 2x.$$
в) $$\frac{\tg\alpha+\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\tg\alpha\cdot\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}=\sqrt3.$$
Левая часть равна
$$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$
г) $$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\tg\alpha+\tg\beta.$$
$$\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$$
$$=\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$$
$$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\tg\alpha+\tg\beta.$$
Ответ
1) Формулы записаны выше. 2) а) $$\frac{\sqrt5+2\sqrt3}{6}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4},\ \tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3$$; в) $$\frac{2\sqrt6-1}{6}$$. 3) Все тождества доказаны.
