Упр.7 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Найдите значение выражения:
а) sin(?/6+?), если sin(?)=2/3 и 0 < ? < ?/2; б) cos(?/12) и tg(?/12); в) cos(?/3-?), если cos(?)=-1/3 и ?/2 < ? < ?. 3) Докажите тождество: а) sin(?+?/6)+sin(?-?/6)=v3sin(?); б) tg(?/4+x)-tg(?/4-x)=2tg(2x); в) (tg(?)+tg(?/3-?))/(1-tg(?)tg(?/3-?))=v3; г) sin(?+?)/(cos(?)cos(?))=tg(?)+tg(?).

1. Формулы сложения и вычитания:

   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}$$

   $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}$$

2. Найдём значения выражений.

   а) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right), \quad \sin\alpha=\frac{2}{3}, \quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

   Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.$$

   Тогда

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) =\sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha =\frac12\cdot\frac{\sqrt5}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac23 =\frac{\sqrt5+2\sqrt3}{6}. $$

   б) $$\cos\frac{\pi}{12}\ \text{и}\ \tg\frac{\pi}{12}.$$

   $$ \cos\frac{\pi}{12} =\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) =\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} =\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}. $$

   $$ \tg\frac{\pi}{12} =\tg\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\tg\frac{\pi}{3}-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg\frac{\pi}{3}\tg\frac{\pi}{4}} =\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3} =2-\sqrt3. $$

   в) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right), \quad \cos\alpha=-\frac13, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

   Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то $$\sin\alpha>0,$$ и

   $$ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac19} =\sqrt{\frac89} =\frac{2\sqrt2}{3}. $$

   Тогда

   $$ \cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) =\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha =\frac12\cdot\left(-\frac13\right)+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} =-\frac16+\frac{\sqrt6}{3} =\frac{2\sqrt6-1}{6}. $$

3. Докажем тождества.

   а) $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\alpha.$$

   $$ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) =\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}, $$

   $$ \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) =\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}. $$

   Складывая, получаем:

   $$ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) =2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} =2\sin\alpha\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3\sin\alpha. $$

   б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\tg 2x.$$

   $$ \tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right) =\frac{1+\tg x}{1-\tg x}, \qquad \tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\frac{1-\tg x}{1+\tg x}. $$

   Тогда

   $$ \tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\frac{1+\tg x}{1-\tg x}-\frac{1-\tg x}{1+\tg x} =\frac{(1+\tg x)^2-(1-\tg x)^2}{1-\tg^2 x} =\frac{4\tg x}{1-\tg^2 x}. $$

   Но

   $$ \tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}, $$

   значит

   $$ \tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\tg 2x. $$

   в) $$\frac{\tg\alpha+\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\tg\alpha\,\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}=\sqrt3.$$

   Левая часть — это формула тангенса суммы:

   $$ \frac{\tg\alpha+\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\tg\alpha\,\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)} =\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}-\alpha\right) =\tg\frac{\pi}{3} =\sqrt3. $$

   г) $$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\tg\alpha+\tg\beta.$$

   $$ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta} =\tg\alpha+\tg\beta. $$

Ответ

1) $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$ $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$ $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$ $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta},$$ $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}.$$

2) а) $$\frac{\sqrt5+2\sqrt3}{6};$$ б) $$\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}, \quad \tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3;$$ в) $$\frac{2\sqrt6-1}{6}.$$

3) Все тождества верны.