Упр.69 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Исследуем каждую функцию, используя определения чётности и нечётности: если $$f(-x)=f(x),$$ то функция чётная; если $$f(-x)=-f(x),$$ то нечётная.
$$y=\sin x+\ctg x-x.$$
Область определения задаётся условием $$\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=\sin(-x)+\ctg(-x)-(-x)=-\sin x-\ctg x+x=-(\sin x+\ctg x-x)=-y(x).$$
Значит, функция нечётная.
$$y=\dfrac{|x|}{\sin x\cos x}=\dfrac{2|x|}{\sin 2x}.$$
Область определения задаётся условием $$\sin 2x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \dfrac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=\dfrac{2|-x|}{\sin(-2x)}=\dfrac{2|x|}{-\sin 2x}=-\dfrac{2|x|}{\sin 2x}=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$y=x^4+\tg^2 x+x\sin x.$$
Область определения задаётся условием $$\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=(-x)^4+\tg^2(-x)+(-x)\sin(-x)=x^4+\tg^2 x+x\sin x=y(x).$$
Значит, функция чётная.
$$y=\dfrac{\tg x-\ctg x}{|x|}.$$
Область определения: $$x\ne \dfrac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$ Она симметрична относительно нуля.
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=\dfrac{\tg(-x)-\ctg(-x)}{|-x|} =\dfrac{-\tg x+\ctg x}{|x|} =-\dfrac{\tg x-\ctg x}{|x|} =-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Ответ: а) нечётная; б) нечётная; в) чётная; г) нечётная.
