Упр.68 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Среди функций вида $$f(x)=ax+b$$ найдите все такие, что для любого $$x$$:
а) $$f(f(x))=f(x)$$;
б) $$f(f(x))=x$$.
Пусть $$f(x)=ax+b.$$
а)
Требуется, чтобы для любого $$x$$ выполнялось $$f(f(x))=f(x).$$ Тогда
$$f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b.$$
Приравниваем:
$$a^2x+ab+b=ax+b.$$
Сравнивая коэффициенты при $$x$$ и свободные члены, получаем:
$$a^2=a,\qquad ab=ab \text{ (выполняется тождественно)}.$$
Из $$a^2=a$$ имеем $$a=0$$ или $$a=1$$.
- Если $$a=0$$, то $$f(x)=b$$.
- Если $$a=1$$, то $$f(x)=x+b$$, а из равенства $$f(f(x))=f(x)$$ получаем $$x+2b=x+b$$, значит $$b=0$$ и $$f(x)=x$$.
Итак, в пункте а) подходят функции $$f(x)=b$$ и $$f(x)=x.$$
б)
Теперь требуется, чтобы для любого $$x$$ выполнялось $$f(f(x))=x.$$ Тогда
$$a(ax+b)+b=x,$$
то есть
$$a^2x+ab+b=x.$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$a^2=1,\qquad ab+b=0.$$
Из $$a^2=1$$ следует $$a=1$$ или $$a=-1$$.
- Если $$a=1$$, то $$2b=0$$, значит $$b=0$$ и $$f(x)=x$$.
- Если $$a=-1$$, то $$-b+b=0$$, это верно при любом $$b$$, и $$f(x)=-x+b=b-x$$.
Следовательно, в пункте б) подходят функции $$f(x)=b-x$$ и $$f(x)=x.$$
Ответ
а) $$f(x)=b$$ или $$f(x)=x$$;
б) $$f(x)=b-x$$ или $$f(x)=x$$.
