Упр.68 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверять период нужно не для одного значения аргумента, а для всех $$x$$: должно выполняться равенство $$f(x+T)=f(x).$$

а)

$$f(x)=\sin x,\quad T=\frac{2\pi}{3}.$$

Проверим, например, при $$x=0$$:

$$f(0)=\sin 0=0,$$

$$f\!\left(0+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как $$f\!\left(0+\frac{2\pi}{3}\right)\ne f(0),$$ число $$T=\frac{2\pi}{3}$$ не является периодом. У функции $$\sin x$$ период равен $$2\pi$$.

б)

$$f(x)=\cos x,\quad T=\pi.$$

Проверим при $$x=0$$:

$$f(0)=\cos 0=1,$$

$$f(0+\pi)=\cos\pi=-1.$$

Значит, $$T=\pi$$ не является периодом. У функции $$\cos x$$ период равен $$2\pi$$.

в)

$$f(x)=\begin{cases}x+1,& x\le 1,\\ 3-x,& x>1.\end{cases}$$

Проверим при $$x=5$$:

$$f(5)=3-5=-2,$$

$$f(5+3)=f(8)=3-8=-5.$$

Получаем $$f(5+3)\ne f(5),$$ значит, $$T=3$$ не является периодом. Эта функция не периодическая.

г)

$$f(x)=x+|x|,\quad T=3.$$

Проверим при $$x=5$$:

$$f(5)=5+|5|=10,$$

$$f(5+3)=f(8)=8+|8|=16.$$

Так как $$f(5+3)\ne f(5),$$ число $$T=3$$ не является периодом. Функция $$f(x)=x+|x|$$ не периодическая.

Ответ

а) нет, период функции $$\sin x$$ равен $$2\pi$$;
б) нет, период функции $$\cos x$$ равен $$2\pi$$;
в) нет, функция не периодическая;
г) нет, функция не периодическая.