Упр.66 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) функция y=f^2(x) возрастает на R;
б) функция y=1/f(x) убывает на R;
в) функция y=v(f(x)) возрастает на R;
г) функция y=lg(f(x)) возрастает на R.

Пусть $$f(x)$$ — возрастающая и положительная функция на всей числовой прямой. Тогда при $$x_2>x_1$$ имеем

$$f(x_2)>f(x_1)>0.$$

1. Рассмотрим функцию $$y=f^2(x)$$. Так как $$f(x_2)>f(x_1)>0$$, то

   $$f^2(x_2)>f^2(x_1).$$

   Значит, функция $$y=f^2(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

2. Рассмотрим функцию $$y=\dfrac{1}{f(x)}$$. Из неравенства $$f(x_2)>f(x_1)>0$$ получаем

   $$\frac{1}{f(x_2)}<\frac{1}{f(x_1)}.$$

   Следовательно, функция $$y=\dfrac{1}{f(x)}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

3. Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{f(x)}$$. Поскольку функция $$\sqrt{x}$$ возрастает при $$x>0$$, а $$f(x_2)>f(x_1)>0$$, то

   $$\sqrt{f(x_2)}>\sqrt{f(x_1)}.$$

   Значит, функция $$y=\sqrt{f(x)}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

4. Рассмотрим функцию $$y=\lg(f(x))$$. Так как логарифмическая функция $$\lg x$$ возрастает при $$x>0$$, а $$f(x_2)>f(x_1)>0$$, то

   $$\lg(f(x_2))>\lg(f(x_1)).$$

   Следовательно, функция $$y=\lg(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Ответ

$$f^2(x)$$ возрастает, $$\dfrac{1}{f(x)}$$ убывает, $$\sqrt{f(x)}$$ возрастает, $$\lg(f(x))$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.