Упр.65 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 65. Известно, что функция y=f(x): 1) возрастает; 2) убывает на промежутке I. Является ли функция y=kf(x) возрастающей (убывающей) на промежутке I, если известно, что: а) k > 0; б) k < 0?

1. Если функция $$f(x)$$ возрастает на промежутке $$I$$, то при $$x_2>x_1$$ имеем
   $$f(x_2)>f(x_1).$$

   а) При $$k>0$$ после умножения неравенство сохраняет знак:

   $$kf(x_2)>kf(x_1).$$
   Значит, функция $$y=kf(x)$$ тоже возрастает на $$I$$.

   б) При $$k<0$$ при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:

   $$kf(x_2)<kf(x_1).$$
   Значит, функция $$y=kf(x)$$ убывает на $$I$$.

2. Если функция $$f(x)$$ убывает на промежутке $$I$$, то при $$x_2>x_1$$ имеем
   $$f(x_2)<f(x_1).$$

   а) При $$k>0$$ знак неравенства сохраняется:

   $$kf(x_2)<kf(x_1).$$
   Значит, функция $$y=kf(x)$$ убывает на $$I$$.

   б) При $$k<0$$ знак неравенства меняется:

   $$kf(x_2)>kf(x_1).$$
   Значит, функция $$y=kf(x)$$ возрастает на $$I$$.

Ответ

1) Если $$f(x)$$ возрастает, то при $$k>0$$ функция $$kf(x)$$ возрастает, а при $$k<0$$ убывает.

2) Если $$f(x)$$ убывает, то при $$k>0$$ функция $$kf(x)$$ убывает, а при $$k<0$$ возрастает.