Упр.65 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что функция $$y=f(x)$$:

1. возрастает;
2. убывает на промежутке $$I$$.

Является ли функция $$y=kf(x)$$ возрастающей (убывающей) на промежутке $$I$$, если известно, что:

а) $$k>0$$;

б) $$k<0$$?

1) Если функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$I$$, то для любых $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(x_2)>f(x_1)$$.

Тогда:

а) при $$k>0$$ после умножения неравенство сохраняет знак:

$$kf(x_2)>kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ тоже возрастает на $$I$$;

б) при $$k<0$$ знак неравенства меняется:

$$kf(x_2)<kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ убывает на $$I$$.

2) Если функция $$y=f(x)$$ убывает на промежутке $$I$$, то для любых $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(x_2)<f(x_1)$$.

Тогда:

а) при $$k>0$$ знак неравенства сохраняется:

$$kf(x_2)<kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ убывает на $$I$$;

б) при $$k<0$$ знак неравенства меняется:

$$kf(x_2)>kf(x_1),$$

значит, функция $$y=kf(x)$$ возрастает на $$I$$.

Ответ: 1) при $$k>0$$ — возрастающая, при $$k<0$$ — убывающая; 2) при $$k>0$$ — убывающая, при $$k<0$$ — возрастающая.