Упр.62 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=vx; б) y=sin|x|;
в) y=x^2+x+1; г) y=sin(x)+sin(xv2).

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Если бы функция была периодической с периодом $$T\ne 0,$$ то для всех допустимых $$x$$ выполнялось бы
$$\sqrt{x+T}=\sqrt{x}.$$
Возьмём $$x=0.$$ Тогда
$$\sqrt{T}=0,$$
откуда $$T=0,$$ что противоречит определению периода. Значит, функция не периодическая.
б) $$y=\sin|x|$$
Предположим, что существует период $$T\ne 0,$$ такой что
$$\sin|x+T|=\sin|x|$$
для всех $$x.$$
Возьмём $$x=0.$$ Тогда
$$\sin|T|=0.$$
Теперь возьмём $$x=-T.$$ Получим
$$\sin|0|=\sin|{-T}|,$$
то есть снова $$\sin|T|=0.$$ Однако из равенства $$\sin|x+T|=\sin|x|$$ для всех $$x$$ следует, что аргументы модуля должны совпадать по всем значениям $$x,$$ что невозможно при постоянном $$T\ne 0.$$ Следовательно, период не существует.
в) $$y=x^2+x+1$$
Это многочлен второй степени. Если бы он был периодическим с периодом $$T\ne 0,$$ то
$$f(x+T)=f(x)$$
для всех $$x.$$ Тогда
$$ (x+T)^2+(x+T)+1=x^2+x+1.$$
Раскроем скобки:
$$x^2+2Tx+T^2+x+T+1=x^2+x+1.$$
После сокращения получаем
$$2Tx+T^2+T=0$$
для всех $$x,$$ что возможно только при $$T=0.$$ Противоречие. Значит, функция не периодическая.
г) $$y=\sin x+\sin(x\sqrt{2})$$
Если бы функция имела период $$T\ne 0,$$ то одновременно должны выполняться равенства
$$\sin(x+T)=\sin x,$$
$$\sin((x+T)\sqrt{2})=\sin(x\sqrt{2})$$
для всех $$x.$$
Для первого слагаемого периодом может быть $$2\pi k,$$ а для второго — $$\dfrac{2\pi m}{\sqrt{2}}$$ при целых $$k,m.$$ Тогда общий период должен удовлетворять
$$T=2\pi k=\frac{2\pi m}{\sqrt{2}}.$$
Отсюда
$$k=\frac{m}{\sqrt{2}},$$
что невозможно при целых $$k,m,$$ так как $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число. Следовательно, общего ненулевого периода нет, и функция не периодическая.