Упр.62 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что функция не является периодической:
а) $$y=\sqrt{x}$$;
б) $$y=\sin|x|$$;
в) $$y=x^2+x+1$$;
г) $$y=\sin(x)+\sin(x\sqrt{2})$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}.$$

Область определения этой функции: $$x\ge 0.$$

Если бы функция была периодической с периодом $$T\ne 0,$$ то для любого допустимого $$x$$ должны были бы одновременно существовать значения $$x+T$$ и $$x-T$$ в области определения. Но при $$x=0$$ это невозможно для любого $$T\ne 0$$: либо $$0-T<0,$$ либо $$0+T<0.$$

Значит, функция $$y=\sqrt{x}$$ не является периодической.

б) Рассмотрим функцию $$y=\sin|x|.$$

Предположим, что она периодична и имеет период $$T\ne 0.$$ Тогда

$$\sin|x+T|=\sin|x| \quad \text{для всех } x.$$

Возьмём $$x=0.$$ Получим

$$\sin|T|=\sin 0=0,$$

то есть $$|T|=k\pi,$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$

Теперь возьмём $$x=\frac{T}{2}.$$ Тогда

$$\sin\left|\frac{T}{2}+T\right|=\sin\left|\frac{T}{2}\right|.$$

Но при $$T\ne 0$$ это равенство не выполняется для всех $$x,$$ так как аргументы модуля меняются по-разному. Следовательно, общего ненулевого периода у функции нет.

Значит, $$y=\sin|x|$$ не является периодической.

в) Рассмотрим функцию $$y=x^2+x+1.$$

Это многочлен второй степени. Если бы он был периодическим с периодом $$T\ne 0,$$ то для всех $$x$$ должно было бы выполняться

$$f(x+T)=f(x).$$

Тогда

$$(x+T)^2+(x+T)+1=x^2+x+1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+2Tx+T^2+x+T+1=x^2+x+1.$$

После сокращения получаем

$$2Tx+T^2+T=0 \quad \text{для всех } x.$$

Это возможно только при $$T=0,$$ но период не может быть равен нулю. Следовательно, функция не периодическая.

г) Рассмотрим функцию $$y=\sin x+\sin(x\sqrt{2}).$$