Упр.62 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим для каждой функции равенство $$f(x+T)=f(x).$$

1. $$f(x)=\sin \frac{x}{2}, \quad T=4\pi.$$

   $$f(x+4\pi)=\sin \frac{x+4\pi}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\sin \frac{x}{2}=f(x).$$

   Значит, $$T=4\pi$$ — период функции.

2. $$f(x)=2\tg 3x, \quad T=\frac{\pi}{3}.$$

   $$f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\tg \left(3x+\pi\right)=2\tg 3x=f(x).$$

   Значит, $$T=\frac{\pi}{3}$$ — период функции.

3. $$f(x)=3\cos 4x, \quad T=\frac{\pi}{2}.$$

   $$f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=3\cos \left(4x+2\pi\right)=3\cos 4x=f(x).$$

   Значит, $$T=\frac{\pi}{2}$$ — период функции.

4. $$f(x)=\ctg \frac{x}{3}, \quad T=3\pi.$$

   $$f(x+3\pi)=\ctg \frac{x+3\pi}{3}=\ctg \left(\frac{x}{3}+\pi\right)=\ctg \frac{x}{3}=f(x).$$

   Значит, $$T=3\pi$$ — период функции.

Ответ: во всех пунктах данное число $$T$$ является периодом функции.