Упр.61 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

cos(x)=a/(b+c), cos(y)=b/(c+a), cos(z)=c/(a+b), a+b+c?0.

Используем формулу

$$\tg^2\frac{t}{2}=\frac{1-\cos t}{1+\cos t}.$$

Тогда

$$ \tg^2\frac{x}{2}+\tg^2\frac{y}{2}+\tg^2\frac{z}{2} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} +\frac{1-\cos y}{1+\cos y} +\frac{1-\cos z}{1+\cos z}. $$

Подставим данные значения косинусов:

$$ \frac{1-\frac{a}{b+c}}{1+\frac{a}{b+c}} +\frac{1-\frac{b}{c+a}}{1+\frac{b}{c+a}} +\frac{1-\frac{c}{a+b}}{1+\frac{c}{a+b}}. $$

Упростим каждую дробь:

$$ \frac{b+c-a}{b+c+a} +\frac{c+a-b}{c+a+b} +\frac{a+b-c}{a+b+c}. $$

Так как знаменатели одинаковы, получаем

$$ \frac{(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} =1. $$

Ответ

$$1$$