Упр.61 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьший положительный период функции: а) $$y=\cos^3 x$$; б) $$y=\sqrt{|\sin 2x|}$$; в) $$y=\cos\left(x\sqrt{2}\right)+\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$$; г) $$y=\{-1-2x\}$$.

Найдём наименьший положительный период каждой функции.

1. $$y=\cos^3 x.$$

   Так как $$\cos(x+2\pi)=\cos x,$$ то

   $$\cos^3(x+2\pi)=\cos^3 x.$$

   Меньшего положительного периода у функции $$\cos^3 x$$ нет, значит

   $$T=2\pi.$$

2. $$y=\sqrt{|\sin 2x|}.$$

   Для периода нужно, чтобы

   $$|\sin(2(x+T))|=|\sin 2x|.$$

   Функция $$|\sin t|$$ имеет наименьший период $$\pi,$$ поэтому

   $$2T=\pi,\qquad T=\frac{\pi}{2}.$$

   $$T=\frac{\pi}{2}.$$

3. $$y=\cos(x\sqrt2)+\cos\frac{x}{\sqrt2}.$$

   Найдём периоды слагаемых:

   $$T_1=\frac{2\pi}{\sqrt2}=\sqrt2\,\pi,$$

   $$T_2=2\pi\sqrt2.$$

   Наименьший общий период суммы равен наименьшему общему кратному этих периодов:

   $$T=2\sqrt2\,\pi.$$

   $$T=2\sqrt2\,\pi.$$

4. $$y=\{-1-2x\}.$$

   Для периода должно выполняться

   $$\{-1-2(x+T)\}=\{-1-2x\}.$$

   Тогда

   $$-1-2x-2T=-1-2x,$$

   откуда

   $$2T=1,\qquad T=\frac12.$$

   $$T=\frac12.$$

Ответ: а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$2\sqrt2\,\pi$$; г) $$\frac12$$.