Упр.60 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=cos(x)cos(xv2); б) f(x)=cos(x)+cos(xv2);
в) f(x)=sin(x^2); г) f(x)=sin(vx).

а) $$f(x)=\cos x\cdot \cos(x\sqrt2).$$

Используем формулу произведения косинусов:

$$ \cos x\cos(x\sqrt2)=\frac{\cos\bigl(x(1+\sqrt2)\bigr)+\cos\bigl(x(1-\sqrt2)\bigr)}{2}. $$

Если бы функция была периодической, то её периодом должен был бы быть общий период для слагаемых. Для первого косинуса можно взять

$$T_1=\frac{2\pi}{1+\sqrt2},$$

для второго —

$$T_2=\frac{2\pi}{1-\sqrt2}.$$

Тогда

$$ \frac{T_1}{T_2}=\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}=2\sqrt2-3, $$

а это число иррационально, значит, отношение периодов не является рациональным. Следовательно, общего периода у функции нет.

б) $$f(x)=\cos x+\cos(x\sqrt2).$$

Периоды слагаемых:

$$T_1=2\pi,\qquad T_2=\frac{2\pi}{\sqrt2}.$$

Их отношение равно

$$ \frac{T_1}{T_2}=\sqrt2, $$

то есть иррационально. Значит, общего периода у суммы нет, и функция не периодическая.

в) $$f(x)=\sin x^2.$$

Предположим, что существует период $$T\ne 0$$. Тогда для всех $$x$$ должно выполняться

$$ \sin\bigl((x+T)^2\bigr)=\sin(x^2). $$

Это возможно только при выполнении равенства аргументов с точностью до постоянного сдвига, но

$$ (x+T)^2-x^2=2xT+T^2, $$

и это выражение зависит от $$x$$. Значит, одно и то же число $$T$$ не может быть периодом для всех $$x$$. Следовательно, функция не периодическая.

г) $$f(x)=\sin\sqrt{x}.$$

Область определения функции: $$x\ge 0$$. Если бы функция была периодической с периодом $$T>0$$, то из равенства

$$ \sin\sqrt{x+T}=\sin\sqrt{x} $$

для всех допустимых $$x$$ следовало бы, что значения функции повторяются через одно и то же число $$T$$. Но при увеличении $$x$$ разность

$$ \sqrt{x+T}-\sqrt{x} $$

не является постоянной, поэтому одного и того же периода быть не может. Следовательно, функция не периодическая.

Ответ

Во всех пунктах функция не является периодической.