Упр.60 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим для каждой функции, выполняется ли условие $$f(-x)=-f(x).$$

а)

$$f(x)=\frac{x^4+1}{2x^3}.$$

Область определения: $$2x^3\ne 0,$$ значит $$x\ne 0.$$ Она симметрична относительно нуля.

Найдём $$f(-x):$$

$$f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{2(-x)^3}=\frac{x^4+1}{-2x^3}=-\frac{x^4+1}{2x^3}=-f(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

б)

$$f(x)=\frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}.$$

Область определения задаётся условием $$x(25-x^2)\ne 0,$$ откуда $$x\ne 0,\quad x\ne \pm 5.$$ Она симметрична относительно нуля.

Найдём $$f(-x):$$

$$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{(-x)\bigl(25-(-x)^2\bigr)}=\frac{\cos x^3}{-x(25-x^2)}=-f(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

в)

$$f(x)=\frac{3x}{x^6+2}.$$

Область определения — вся числовая прямая, так как $$x^6+2>0$$ при любом $$x.$$

Найдём $$f(-x):$$

$$f(-x)=\frac{3(-x)}{(-x)^6+2}=\frac{-3x}{x^6+2}=-f(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

г)

$$f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}.$$

Область определения задаётся условием $$x^2-9\ne 0,$$ значит $$x\ne \pm 3.$$ Она симметрична относительно нуля.

Найдём $$f(-x):$$

$$f(-x)=\frac{(-x)^2\sin(-x)}{(-x)^2-9}=\frac{x^2(-\sin x)}{x^2-9}=-\frac{x^2\sin x}{x^2-9}=-f(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

Ответ

Все данные функции: а), б), в), г) — нечётные.