Упр.6 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 6. а) В десятичной записи числа 300 единиц и несколько нулей (а других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом? б) 2008-значное число а делится на 9. Сумма цифр а — число b, сумма цифр b — число с, сумма цифр с — число d. Найдите d.

а) Если число состоит из 300 единиц и нескольких нулей, то сумма его цифр равна $$S=300.$$

Для точного квадрата сумма цифр не обязана быть кратной 9, но число должно иметь вид, допускающий квадрат. Проверим по признаку делимости на 9: если число — квадрат, то его остаток по модулю 9 может быть только $$0,1,4,7.$$

Здесь сумма цифр равна $$300,$$ значит число делится на 9, но квадрат с такой записью невозможен: у квадрата, состоящего только из единиц и нулей, число единиц должно быть квадратом целого числа. Однако $$300$$ не является квадратом целого числа.

Следовательно, такое число не может быть точным квадратом.

б) Так как число $$a$$ делится на 9, то сумма его цифр $$b$$ тоже делится на 9.

Число $$a$$ — 2008-значное, значит сумма его цифр не превосходит $$2008 \cdot 9 = 18072.$$

Следовательно, $$b \le 18072.$$ Поскольку $$b$$ делится на 9, сумма цифр числа $$b$$, то есть число $$c,$$ тоже делится на 9. При этом $$b$$ не может быть слишком большим, поэтому $$c \le 45.$$

Аналогично, сумма цифр числа $$c$$, то есть $$d,$$ также делится на 9. Так как $$c \le 45,$$ то $$d \le 18.$$ Единственное возможное значение, кратное 9, — это $$9.$$

Значит, $$d=9.$$

Ответ

а) нет; б) $$9$$.