Упр.6 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, то несократима и дробь $$\frac{ab}{a+b}$$.

Пусть дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ сократима. Тогда существует число $$d>1$$, на которое делятся и числитель, и знаменатель:

$$\frac{ab}{a+b}=\frac{m}{n}, \qquad ab:d,\quad a+b:d.$$

Так как $$d$$ делит произведение $$ab$$, то $$d$$ делит хотя бы один из множителей: либо $$a:d$$, либо $$b:d$$.

Но из условия $$d \mid (a+b)$$ и, например, $$d \mid a$$ следует, что $$d \mid b$$, потому что

$$b=(a+b)-a.$$

Аналогично, если $$d \mid b$$, то из $$d \mid (a+b)$$ получаем $$d \mid a$$.

Значит, $$d$$ делит и $$a$$, и $$b$$. Это противоречит тому, что дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима.

Следовательно, дробь $$\frac{ab}{a+b}$$ тоже несократима.

Ответ: если $$\frac{a}{b}$$ несократима, то несократима и $$\frac{ab}{a+b}$$.