Упр.6 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.
- Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:
а) $$\sin\left(-\frac{13?}{8}\right)$$;
б) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{21?}{13}\right)$$;
в) $$\operatorname{tg}\left(-\frac{14?}{3}\right)$$;
г) $$\cos\left(\frac{8?}{3}\right)$$. - Упростите выражение:
а) $$\sin\left(\frac{7?}{8}\right)+\cos\left(\frac{5?}{8}\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{7?}{4}\right)$$;
б) $$\frac{\sin(?-?)\cos(?+?)\operatorname{tg}(-?)}{\sin\left(?-\frac{3?}{2}\right)\operatorname{ctg}\left(\frac{3?}{2}+?\right)\cos\left(?+\frac{?}{2}\right)}$$;
в) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{9?}{4}\right)+\sin\left(\frac{37?}{12}\right)-\cos\left(\frac{7?}{12}\right)$$;
г) $$\frac{\sin(?-?)\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}+?\right)}{\cos\left(\frac{3?}{2}+?\right)\operatorname{ctg}(?-?)}$$.
1) Для формул приведения удобно запомнить правило:
$$\varphi=\frac{n\pi}{2}+\alpha,\quad \sin\varphi,\ \cos\varphi,\ \tg\varphi,\ \ctg\varphi.$$
Перед приведённой функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$. Функция меняется на кофункцию, если $$n$$ нечётно, и не меняется, если $$n$$ чётно.
Например:
- $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha;$$
- $$\cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha;$$
- $$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha;$$
- $$\ctg\left(2\pi-\alpha\right)=-\ctg\alpha.$$
Ход решения
2) Приведём функции к значению с наименьшим положительным аргументом:
а) $$\sin\left(-\frac{13\pi}{8}\right)=\sin\left(2\pi-\frac{13\pi}{8}\right)=\sin\frac{3\pi}{8};$$
б) $$\ctg\left(\frac{21\pi}{13}\right)=-\ctg\left(2\pi-\frac{21\pi}{13}\right)=-\ctg\frac{5\pi}{13};$$
в) $$\tg\left(-\frac{14\pi}{3}\right)=\tg\left(5\pi-\frac{14\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{3};$$
г) $$\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)=-\cos\left(3\pi-\frac{8\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}.$$
3) Упростим выражения:
а) $$\sin\frac{7\pi}{8}+\cos\frac{5\pi}{8}+\tg\frac{7\pi}{4}$$
$$=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\tg\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\sin\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}-1=-1.$$
б) $$\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tg(-\alpha)}{\sin\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}$$
$$=\frac{\sin\alpha\cdot(-\cos\alpha)\cdot(-\tg\alpha)}{\cos\alpha\cdot(-\tg\alpha)\cdot(-\sin\alpha)}=1.$$
в) $$\ctg\frac{9\pi}{4}+\sin\frac{37\pi}{12}-\cos\frac{7\pi}{12}$$
$$=\ctg\left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(3\pi+\frac{\pi}{12}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$$
$$=\ctg\frac{\pi}{4}+(-\sin\frac{\pi}{12})-(-\sin\frac{\pi}{12})=1.$$
г) $$\frac{\sin(\alpha-\pi)\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\ctg(\alpha-\pi)}$$
$$=\frac{(-\sin\alpha)\cdot(-\ctg\alpha)}{(\sin\alpha)\cdot(\ctg\alpha)}=1.$$
Ответ
1) Перед приведённой функцией ставится знак исходной функции; при нечётном $$n$$ функция меняется на кофункцию, при чётном $$n$$ не меняется.
2) а) $$\sin\frac{3\pi}{8}$$; б) $$-\ctg\frac{5\pi}{13}$$; в) $$\tg\frac{\pi}{3}$$; г) $$-\cos\frac{\pi}{3}$$.
3) а) $$-1$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.
