Упр.6 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) В десятичной записи числа $$300$$ единиц и несколько нулей (а других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом?
б) $$2008$$-значное число $$a$$ делится на $$9$$. Сумма цифр $$a$$ — число $$b$$, сумма цифр $$b$$ — число $$c$$, сумма цифр $$c$$ — число $$d$$. Найдите $$d$$.

а) Число состоит из $$300$$ единиц и нескольких нулей, значит сумма его цифр равна

$$S=300.$$

Если бы это число было точным квадратом, то сумма его цифр не давала бы такого простого признака. Проверим по признаку делимости на $$9$$:

$$300=3\cdot 100,$$

то есть сумма цифр кратна $$3$$, но не кратна $$9$$. Следовательно, число не может быть точным квадратом.

б) Пусть сумма цифр числа $$a$$ равна $$b$$, сумма цифр числа $$b$$ равна $$c$$, а сумма цифр числа $$c$$ равна $$d$$.

Так как $$a$$ делится на $$9$$, то и сумма его цифр $$b$$ делится на $$9$$.

Число $$a$$ — $$2008$$-значное, значит

$$b\le 2008\cdot 9=18072.$$

Тогда сумма цифр числа $$b$$ не превосходит

$$c\le 1+8+0+7+2=18,$$

и, поскольку $$b$$ делится на $$9$$, число $$c$$ тоже делится на $$9$$. Значит, $$c=9$$ или $$c=18$$.

Но сумма цифр числа $$c$$ равна $$d$$, поэтому

$$d=9.$$

Ответ: а) нет; б) $$9$$.