Упр.59 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\lg(\operatorname{tg}(1^\circ))+\lg(\operatorname{tg}(2^\circ))+\ldots+\lg(\operatorname{tg}(89^\circ))$$;
   б) $$\lg(\operatorname{tg}(1^\circ))\cdot\lg(\operatorname{tg}(2^\circ))\cdot\ldots\cdot\lg(\operatorname{tg}(89^\circ))$$.

Используем свойство логарифма произведения:

$$\lg(\tg 1^\circ)+\lg(\tg 2^\circ)+\cdots+\lg(\tg 89^\circ) = \lg\bigl(\tg 1^\circ\cdot \tg 2^\circ\cdot \cdots \cdot \tg 89^\circ\bigr).$$

Сгруппируем множители попарно:

$$\tg 1^\circ\cdot \tg 89^\circ=1,\quad \tg 2^\circ\cdot \tg 88^\circ=1,\quad \ldots,\quad \tg 44^\circ\cdot \tg 46^\circ=1,$$
$$\tg 45^\circ=1.$$

Тогда

$$\tg 1^\circ\cdot \tg 2^\circ\cdot \cdots \cdot \tg 89^\circ=1,$$
следовательно,
$$\lg 1=0.$$

Теперь рассмотрим произведение:

$$\lg(\tg 1^\circ)\cdot \lg(\tg 2^\circ)\cdot \cdots \cdot \lg(\tg 89^\circ).$$

Так как

$$\lg(\tg 45^\circ)=\lg 1=0,$$
то всё произведение равно нулю:

$$\lg(\tg 1^\circ)\cdot \lg(\tg 2^\circ)\cdot \cdots \cdot \lg(\tg 89^\circ)=0.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$.