Упр.59 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Существует ли периодическая функция, у которой: а) все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные нет; б) все иррациональные числа являются периодами, а все рациональные нет?

Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ рационально},\\ 0, & \text{если } x \text{ иррационально}. \end{cases}$$

Тогда любое рациональное число $$T$$ является периодом этой функции: если $$x$$ рационально, то и $$x+T$$ рационально; если $$x$$ иррационально, то и $$x+T$$ иррационально. Значит,

$$f(x+T)=f(x).$$

При этом ни одно иррациональное число не является периодом: если взять рациональное $$x$$ и иррациональный $$T$$, то число $$x+T$$ иррационально, а значит,

$$f(x+T)\ne f(x).$$

Следовательно, существует периодическая функция, у которой все рациональные числа — периоды, а все иррациональные — нет.

Теперь предположим, что существует функция, у которой все иррациональные числа являются периодами, а рациональные — нет. Возьмём два иррациональных периода $$T_1$$ и $$T_2$$. Тогда их сумма тоже должна быть периодом:

$$f(x+T_1+T_2)=f((x+T_1)+T_2)=f(x+T_1)=f(x).$$

Но можно выбрать два иррациональных числа с рациональной суммой, например

$$T_1=\sqrt{2}, \qquad T_2=1-\sqrt{2}, \qquad T_1+T_2=1.$$

Тогда рациональное число $$1$$ тоже оказалось бы периодом, что противоречит условию. Значит, такой функции не существует.

Ответ

а) Да. б) Нет.