Упр.59 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) lg(tg(1°))+lg(tg(2°))+…+lg(tg(89°));
б) lg(tg(1°))·lg(tg(2°))·…·lg(tg(89°)).

а) Используем свойство логарифма произведения:

$$ \lg(\tg 1^\circ)+\lg(\tg 2^\circ)+\cdots+\lg(\tg 89^\circ) = \lg\bigl(\tg 1^\circ\cdot \tg 2^\circ\cdot \cdots \cdot \tg 89^\circ\bigr). $$

Сгруппируем множители попарно:

$$ \tg 1^\circ\cdot \tg 89^\circ=1,\quad \tg 2^\circ\cdot \tg 88^\circ=1,\quad \ldots,\quad \tg 44^\circ\cdot \tg 46^\circ=1. $$

Кроме того, $$\tg 45^\circ=1$$. Тогда

$$ \tg 1^\circ\cdot \tg 2^\circ\cdot \cdots \cdot \tg 89^\circ=1. $$

Следовательно,

$$ \lg 1=0. $$

б) В произведении есть множитель $$\lg(\tg 45^\circ)$$, а

$$ \lg(\tg 45^\circ)=\lg 1=0. $$

Значит, всё произведение равно нулю:

$$ \lg(\tg 1^\circ)\cdot \lg(\tg 2^\circ)\cdot \cdots \cdot \lg(\tg 89^\circ)=0. $$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$.