Упр.58 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.
Пусть сумма $$f(x)+g(x)$$ периодична и имеет период $$T$$. Тогда для всех $$x$$ выполняется
$$f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x).$$
Перенесём слагаемые:
$$f(x+T)-f(x)=g(x)-g(x+T).$$
Левая часть зависит только от функции $$f$$, правая — только от функции $$g$$. Обозначим это общее значение через $$a$$:
$$f(x+T)=f(x)+a,\qquad g(x+T)=g(x)-a.$$
Тогда после двух сдвигов на $$T$$ получаем
$$f(x+2T)=f(x)+2a,\qquad g(x+2T)=g(x)-2a.$$
Если $$a\neq 0$$, то при многократных сдвигах значения функций неограниченно растут или убывают, а значит, функции $$f$$ и $$g$$ не могут быть периодическими. Если же $$a=0$$, то
$$f(x+T)=f(x),\qquad g(x+T)=g(x),$$
то есть $$T$$ является общим периодом функций $$f$$ и $$g$$, что противоречит условию.
Следовательно, сумма двух непрерывных периодических функций, не имеющих общих периодов, не является периодической.
Ответ: сумма таких функций не периодична.
