Упр.579 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть температуры тел через $$t$$ минут после начала охлаждения равны $$T_1(t)$$ и $$T_2(t)$$. По закону охлаждения Ньютона:

$$T(t)=T_0e^{-kt}.$$

Для первого тела:

$$80=100e^{-10k_1},$$

откуда

$$e^{-10k_1}=0{,}8.$$

Для второго тела:

$$64=100e^{-10k_2},$$

откуда

$$e^{-10k_2}=0{,}64.$$

Тогда

$$T_1(t)=100\cdot 0{,}8^{t/10}, \qquad T_2(t)=100\cdot 0{,}64^{t/10}.$$

По условию разность температур равна $$25^\circ$$:

$$100\cdot 0{,}8^{t/10}-100\cdot 0{,}64^{t/10}=25.$$

Разделим на $$100$$:

$$0{,}8^{t/10}-0{,}64^{t/10}=0{,}25.$$

Заметим, что $$0{,}64=0{,}8^2$$, значит

$$0{,}8^{t/10}-0{,}8^{2t/10}=0{,}25.$$

Обозначим $$x=0{,}8^{t/10}$$. Тогда получаем:

$$x-x^2=0{,}25,$$

$$x^2-x+0{,}25=0,$$

$$\left(x-0{,}5\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$x=0{,}5,$$

то есть

$$0{,}8^{t/10}=0{,}5.$$

Тогда

$$\frac{t}{10}=\log_{0{,}8}0{,}5,$$

$$t=10\log_{0{,}8}0{,}5=\frac{10\ln 0{,}5}{\ln 0{,}8}\approx 31{,}08.$$

Ответ

$$31{,}08\text{ мин.}$$