Упр.574 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть

$$x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2).$$

Если сумма этих колебаний периодична, то существует число $$T>0$$ такое, что

$$x(t+T)=x(t)$$

при всех $$t$$. Тогда

$$A_1\cos(\omega_1(t+T)+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2(t+T)+\varphi_2)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2).$$

Чтобы это равенство выполнялось при любых $$t$$, достаточно, чтобы каждый из косинусов имел общий период $$T$$, то есть

$$\omega_1T=2\pi k,\qquad \omega_2T=2\pi n,$$

где $$k,n\in\mathbb Z.$$ Тогда

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{k}{n}.$$

Значит, отношение частот должно быть рациональным числом.

Обратно, если

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=r\in\mathbb Q,$$

то можно представить $$r=\frac{k}{n}$$, где $$k,n\in\mathbb Z.$$ Тогда существует число $$T$$, для которого

$$\omega_1T=2\pi k,\qquad \omega_2T=2\pi n,$$

и оба колебания, а значит и их сумма, будут периодическими.

Следовательно, сумма двух гармонических колебаний будет периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение частот рационально:

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=r,\qquad r\in\mathbb Q.$$

Ответ

Сумма двух гармонических колебаний периодична тогда и только тогда, когда отношение их частот рационально: $$\frac{\omega_1}{\omega_2}\in\mathbb Q.$$