Упр.57 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) tg(x)+ctg(x)?2, если 0 < x < ?/2; б) sin(?/3+?)/(sin(?/12+?/4)sin(5?/12-?/4))+2sin(?/2)?2v3; в) (1+sin(?)+cos(?))(1-sin(?)+cos(?))(1+sin(?)-cos(?))(sin(?)+cos(?)-1)?1; г) 2sin(4?)sin(2?)+cos(6?)?-1.

1. а) Используем формулу $$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}.$$

   Так как $$0<x<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin 2x>0$$ и $$\sin 2x\le 1.$$ Следовательно,

   $$\frac{2}{\sin 2x}\ge 2.$$

2. б) Преобразуем выражение:

   $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\alpha}{4}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2} $$

   Так как

   $$\sin\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\alpha}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right),$$

   то

   $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2}. $$

   Используем формулы приведения:

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right), $$

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)=\frac12\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right). $$

   Тогда

   $$ \frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)}{\frac12\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2} =4\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)+2\sin\frac{\alpha}{2}. $$

   Раскроем косинус суммы:

   $$ 4\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\alpha}{2}\right)+2\sin\frac{\alpha}{2} =2\sqrt3\cos\frac{\alpha}{2}-2\sin\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}. $$

   Получаем

   $$2\sqrt3\cos\frac{\alpha}{2}\le 2\sqrt3,$$

   так как $$\cos\frac{\alpha}{2}\le 1.$$

3. в) Преобразуем произведение:

   $$ (1+\sin\varphi+\cos\varphi)(1-\sin\varphi+\cos\varphi)(1+\sin\varphi-\cos\varphi)(\sin\varphi+\cos\varphi-1). $$

   Сгруппируем множители:

   $$ \bigl((1+\cos\varphi)^2-\sin^2\varphi\bigr)\bigl(\sin^2\varphi-(\cos\varphi-1)^2\bigr). $$

   Тогда

   $$ (1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)(\sin^2\varphi-\cos^2\varphi+2\cos\varphi-1) $$

   $$ =(2\cos\varphi+2\cos^2\varphi)(2\cos\varphi-2\cos^2\varphi) =4\cos^2\varphi(1-\cos^2\varphi). $$

   Так как $$1-\cos^2\varphi=\sin^2\varphi,$$ то

   $$ 4\cos^2\varphi\sin^2\varphi=(2\sin\varphi\cos\varphi)^2=\sin^2 2\varphi\le 1. $$

4. г) Используем формулу $$\cos 6\alpha=1-2\sin^2 3\alpha$$ и преобразуем:

   $$ 2\sin 4\alpha\sin 2\alpha+\cos 6\alpha =\cos 2\alpha-\cos 6\alpha+\cos 6\alpha =\cos 2\alpha. $$

   Так как $$|\cos 2\alpha|\le 1,$$ то

   $$\cos 2\alpha\ge -1.$$

Ответ

а) $$\tg x+\ctg x\ge 2.$$

б) $$\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{4}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\alpha}{4}\right)}+2\sin\frac{\alpha}{2}\le 2\sqrt3.$$

в) $$\left(1+\sin\varphi+\cos\varphi\right)\left(1-\sin\varphi+\cos\varphi\right)\left(1+\sin\varphi-\cos\varphi\right)\left(\sin\varphi+\cos\varphi-1\right)\le 1.$$

г) $$2\sin 4\alpha\sin 2\alpha+\cos 6\alpha\ge -1.$$