Упр.568 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим подстановкой в каждое дифференциальное уравнение.

1. $$y(t)=3\cos(2t+\pi), \qquad y»=-4y.$$

   Найдём производные:

   $$y’=-3\sin(2t+\pi)\cdot 2=-6\sin(2t+\pi),$$

   $$y»=-6\cos(2t+\pi)\cdot 2=-12\cos(2t+\pi).$$

   Тогда

   $$-4y=-4\cdot 3\cos(2t+\pi)=-12\cos(2t+\pi).$$

   Следовательно, $$y»=-4y.$$

2. $$y(t)=4\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right), \qquad y»=-\frac14 y.$$

   Найдём производные:

   $$y’=4\cos\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)\cdot \frac12=2\cos\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right),$$

   $$y»=2\left(-\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)\right)\cdot \frac12=-\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right).$$

   С другой стороны,

   $$-\frac14 y=-\frac14\cdot 4\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac12 t-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Значит, $$y»=-\frac14 y.$$

3. $$y(t)=2\cos 4t, \qquad y»+16y=0.$$

   Найдём производные:

   $$y’=-2\sin 4t\cdot 4=-8\sin 4t,$$

   $$y»=-8\cos 4t\cdot 4=-32\cos 4t.$$

   Подставим в уравнение:

   $$y»+16y=-32\cos 4t+16\cdot 2\cos 4t=-32\cos 4t+32\cos 4t=0.$$

   Уравнение выполняется.

4. $$y(t)=\frac13\sin(0{,}1t+1), \qquad y»+0{,}01y=0.$$

   Найдём производные:

   $$y’=\frac13\cos(0{,}1t+1)\cdot 0{,}1=\frac1{30}\cos(0{,}1t+1),$$

   $$y»=\frac1{30}\left(-\sin(0{,}1t+1)\right)\cdot 0{,}1=-\frac1{300}\sin(0{,}1t+1).$$

   Тогда

   $$y»+0{,}01y=-\frac1{300}\sin(0{,}1t+1)+0{,}01\cdot \frac13\sin(0{,}1t+1)=0.$$

   Следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: во всех пунктах функция $$y(t)$$ является решением данного дифференциального уравнения.