Упр.565 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$S=\int_0^1 x^{\sqrt2}\,dx=\left.\frac{x^{\sqrt2+1}}{\sqrt2+1}\right|_0^1=\frac{1}{\sqrt2+1}.$$
б) Точки пересечения графиков $$y=x^{\sqrt3}$$ и $$y=\frac1x$$ найдём из уравнения $$x^{\sqrt3}=\frac1x,$$ откуда $$x^{\sqrt3+1}=1,$$ значит $$x=1.$$
Тогда площадь равна
$$S=\int_{1/2}^{1}\left(\frac1x-x^{\sqrt3}\right)\,dx =\left.\left(\ln x-\frac{x^{\sqrt3+1}}{\sqrt3+1}\right)\right|_{1/2}^{1}.$$
Подставим пределы:
$$S=\left(0-\frac1{\sqrt3+1}\right)-\left(-\ln2-\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}}{\sqrt3+1}\right) =\ln2+\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}-1}{\sqrt3+1}.$$
в) $$S=\int_1^{32}x^{-0.8}\,dx=\left.\frac{x^{0.2}}{0.2}\right|_1^{32}=\frac{32^{0.2}-1}{0.2}.$$
Так как $$32=2^5,$$ то $$32^{0.2}=(2^5)^{1/5}=2,$$ значит
$$S=\frac{2-1}{0.2}=5.$$
г) $$S=\int_3^5\frac1x\,dx=\left.\ln x\right|_3^5=\ln5-\ln3=\ln\frac53.$$
Ответ: а) $$\frac{1}{\sqrt2+1}$$; б) $$\ln2+\frac{(1/2)^{\sqrt3+1}-1}{\sqrt3+1}$$; в) $$5$$; г) $$\ln\frac53$$.
