Упр.564 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Вычислим интегралы, используя формулу первообразной:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1,$$
$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

Ход решения

а)

$$\int_1^4 x^{\frac52}\,dx = \left.\frac{x^{\frac72}}{\frac72}\right|_1^4 = \left.\frac{2}{7}x^{\frac72}\right|_1^4 = \frac{2}{7}\left(4^{\frac72}-1\right).$$
Так как $$4^{\frac72}=(2^2)^{\frac72}=2^7=128,$$ то
$$\int_1^4 x^{\frac52}\,dx=\frac{2}{7}(128-1)=\frac{254}{7}=36\frac{2}{7}.$$

б)

$$\int_1^8 \frac{4\,dx}{x^{\frac23}} = 4\int_1^8 x^{-\frac23}\,dx = 4\left.\frac{x^{\frac13}}{\frac13}\right|_1^8 = 12\left.x^{\frac13}\right|_1^8 = 12(2-1)=12.$$

в)

$$\int_e^{e^2} 2x^{-1}\,dx = 2\int_e^{e^2}\frac{dx}{x} = 2\left.\ln x\right|_e^{e^2} = 2(\ln e^2-\ln e) = 2(2-1)=2.$$

г)

$$\int_{16}^{81} 5x^{\frac14}\,dx = 5\left.\frac{x^{\frac54}}{\frac54}\right|_{16}^{81} = 4\left.x^{\frac54}\right|_{16}^{81} = 4\left(81^{\frac54}-16^{\frac54}\right).$$
Так как $$81=3^4,\;16=2^4,$$ то
$$81^{\frac54}=3^5=243,\qquad 16^{\frac54}=2^5=32.$$
Следовательно,
$$\int_{16}^{81} 5x^{\frac14}\,dx = 4(243-32)=4\cdot 211=844.$$

Ответ

$$\text{а) }36\frac{2}{7};\quad \text{б) }12;\quad \text{в) }2;\quad \text{г) }844.$$