Упр.564 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\int\limits_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}}\,dx$$

   Найдём первообразную:

   $$\int x^{\frac{5}{2}}\,dx=\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}+C$$

   Тогда

   $$\int\limits_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}}\,dx=\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}\Bigg|_{1}^{4}=\frac{2}{7}\left(4^{\frac{7}{2}}-1^{\frac{7}{2}}\right)=\frac{2}{7}(128-1)=\frac{254}{7}=36\frac{2}{7}.$$

2. $$\int\limits_{1}^{8} \frac{4\,dx}{x^{\frac{2}{3}}}$$

   Преобразуем подынтегральное выражение:

   $$\int\limits_{1}^{8} 4x^{-\frac{2}{3}}\,dx$$

   Найдём первообразную:

   $$\int 4x^{-\frac{2}{3}}\,dx=4\cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}=12x^{\frac{1}{3}}+C$$

   Тогда

   $$\int\limits_{1}^{8} \frac{4\,dx}{x^{\frac{2}{3}}}=12x^{\frac{1}{3}}\Bigg|_{1}^{8}=12\left(8^{\frac{1}{3}}-1^{\frac{1}{3}}\right)=12(2-1)=12.$$

3. $$\int\limits_{e}^{e^2} 2x^{-1}\,dx$$

   Так как $$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,$$ то

   $$\int\limits_{e}^{e^2} 2x^{-1}\,dx=2\ln x\Bigg|_{e}^{e^2}=2(\ln e^2-\ln e)=2(2-1)=2.$$

4. $$\int\limits_{16}^{81} 5x^{\frac{1}{4}}\,dx$$

   Найдём первообразную:

   $$\int 5x^{\frac{1}{4}}\,dx=5\cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}=4x^{\frac{5}{4}}+C$$

   Тогда

   $$\int\limits_{16}^{81} 5x^{\frac{1}{4}}\,dx=4x^{\frac{5}{4}}\Bigg|_{16}^{81}=4\left(81^{\frac{5}{4}}-16^{\frac{5}{4}}\right).$$

   Так как $$81^{\frac{1}{4}}=3,$$ а $$16^{\frac{1}{4}}=2,$$ получаем

   $$4\left(3^5-2^5\right)=4(243-32)=4\cdot 211=844.$$

Ответ

а) $$36\frac{2}{7}$$; б) $$12$$; в) $$2$$; г) $$844$$.