Упр.562 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^{\frac25}, \quad I=[1;32].$$

Так как $$f'(x)=\frac25x^{-\frac35}>0$$ при $$x>0,$$ функция возрастает на своей области определения.

Значит, на отрезке $$[1;32]$$ наименьшее значение достигается при $$x=1,$$ а наибольшее — при $$x=32.$$

$$f(1)=1^{\frac25}=1,$$

$$f(32)=32^{\frac25}=(2^5)^{\frac25}=2^2=4.$$

б) $$f(x)=x^{-\frac43}, \quad I=\left[\frac18;27\right].$$

Так как $$f'(x)=-\frac43x^{-\frac73}<0$$ при $$x>0,$$ функция убывает на своей области определения.

Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=\frac18,$$ а наименьшее — при $$x=27.$$

$$f\!\left(\frac18\right)=\left(\frac18\right)^{-\frac43}=(2^{-3})^{-\frac43}=2^4=16,$$

$$f(27)=27^{-\frac43}=(3^3)^{-\frac43}=3^{-4}=\frac1{81}.$$

в) $$f(x)=x^{-4}, \quad I=\left[\frac12;1\right].$$

Так как $$f'(x)=-4x^{-5}<0$$ при $$x>0,$$ функция убывает.

Значит, наибольшее значение достигается при $$x=\frac12,$$ а наименьшее — при $$x=1.$$

$$f\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16,$$

$$f(1)=1^{-4}=1.$$

г) $$f(x)=x^{\frac34}, \quad I=\left[\frac1{16};81\right].$$

Так как $$f'(x)=\frac34x^{-\frac14}>0$$ при $$x>0,$$ функция возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=\frac1{16},$$ а наибольшее — при $$x=81.$$

$$f\!\left(\frac1{16}\right)=\left(\frac1{16}\right)^{\frac34}=(2^{-4})^{\frac34}=2^{-3}=\frac18,$$

$$f(81)=81^{\frac34}=(3^4)^{\frac34}=3^3=27.$$

Ответ

а) $$\min f=1,$$ $$\max f=4.$$

б) $$\max f=16,$$ $$\min f=\frac1{81}.$$

в) $$\max f=16,$$ $$\min f=1.$$

г) $$\min f=\frac18,$$ $$\max f=27.$$