Упр.56 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки 0 областью определения представляется (притом единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функций.
в) Найдите все функции, являющиеся одновременно четными и нечетными.

а) Пусть область определения функции $$f$$ симметрична относительно точки $$0$$. Рассмотрим функции

$$y=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad y=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$

Для первой функции:

$$ y(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=y(x), $$

значит, она чётная.

Для второй функции:

$$ y(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-y(x), $$

значит, она нечётная.

б) Сложим найденные функции:

$$ \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x). $$

Следовательно, любую функцию с симметричной областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

Докажем единственность. Пусть

$$f(x)=g(x)+h(x),$$

где $$g(x)$$ — чётная, а $$h(x)$$ — нечётная функция. Тогда

$$ f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x). $$

Складывая и вычитая эти равенства, получаем:

$$ g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. $$

Значит, такое представление единственно.

в) Если функция одновременно чётная и нечётная, то

$$f(-x)=f(x)$$

и

$$f(-x)=-f(x).$$

Тогда

$$2f(x)=0,$$

откуда

$$f(x)=0.$$

Итак, такой функцией является только тождественно нулевая функция.

Ответ

а) $$\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$$ — чётная, $$\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$$ — нечётная.
б) $$f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$$, причём разложение единственно.
в) Только $$f(x)\equiv 0$$.