Упр.559 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для каждой функции используем правило:

$$\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}, \qquad \frac{d}{dx}(kx)^a=a(kx)^{a-1}\cdot k.$$

а)

$$f(x)=x^{-e}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Тогда

$$f'(x)=-e\,x^{-e-1}.$$

б)

$$f(x)=\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\lg 5\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5-1}\cdot \frac13.$$

Итак,

$$f'(x)=-\frac{\lg 5}{3}\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5-1}.$$

в)

$$f(x)=x^\pi.$$

Область определения: $$x>0.$$

Производная:

$$f'(x)=\pi x^{\pi-1}.$$

г)

$$f(x)=(2x)^{\ln 3}.$$

Область определения: $$x>0.$$

По правилу дифференцирования сложной функции:

$$f'(x)=\ln 3\,(2x)^{\ln 3-1}\cdot 2.$$

Следовательно,

$$f'(x)=2\ln 3\,(2x)^{\ln 3-1}.$$

Ответ

$$f’_a(x)=-e\,x^{-e-1}, \qquad f’_б(x)=-\frac{\lg 5}{3}\left(\frac{x}{3}\right)^{-\lg 5-1}, \qquad f’_в(x)=\pi x^{\pi-1}, \qquad f’_г(x)=2\ln 3\,(2x)^{\ln 3-1}.$$