Упр.557 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Площадь фигуры находим как определённый интеграл от верхней функции на заданном промежутке.

1. $$y=\frac{4}{x}+2,\quad y=0,\quad x=2,\quad x=6.$$

   $$S=\int_{2}^{6}\left(\frac{4}{x}+2\right)\,dx =\left(4\ln|x|+2x\right)\Big|_{2}^{6}$$

   $$S=(4\ln 6+12)-(4\ln 2+4)=4\ln\frac{6}{2}+8=4\ln 3+8.$$

2. $$y=-\frac{2}{x},\quad y=0,\quad x=-4,\quad x=-1.$$

   $$S=\int_{-4}^{-1}\left(-\frac{2}{x}\right)\,dx =-2\ln|x|\Big|_{-4}^{-1}$$

   $$S=-2(\ln 1-\ln 4)=2\ln 4=4\ln 2.$$

3. $$y=\frac{1}{2x},\quad y=0,\quad x=\frac14,\quad x=2.$$

   $$S=\int_{1/4}^{2}\frac{1}{2x}\,dx =\frac12\ln|x|\Big|_{1/4}^{2}$$

   $$S=\frac12\left(\ln 2-\ln\frac14\right) =\frac12\ln 8 =\frac32\ln 2.$$

4. $$y=3-\frac{1}{x},\quad y=0,\quad x=-6,\quad x=-3.$$

   $$S=\int_{-6}^{-3}\left(3-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left(3x-\ln|x|\right)\Big|_{-6}^{-3}$$

   $$S=\left(-9-\ln 3\right)-\left(-18-\ln 6\right)=9+\ln 2.$$

Ответ: а) $$4\ln 3+8$$; б) $$4\ln 2$$; в) $$\frac32\ln 2$$; г) $$9+\ln 2$$.