Упр.554 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Используем правило производной частного и производной сложной функции.
$$y=\frac{\ln(5+3x)}{x^2+1}$$
$$y’=\frac{\left(\ln(5+3x)\right)'(x^2+1)-\ln(5+3x)\,(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$
$$y’=\frac{\frac{3}{5+3x}(x^2+1)-2x\ln(5+3x)}{(x^2+1)^2} =\frac{3(x^2+1)-2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$$
$$y=\frac{\sqrt{x}}{\lg(1-2x)}$$
$$y’=\frac{(\sqrt{x})’\lg(1-2x)-\sqrt{x}\,(\lg(1-2x))’}{(\lg(1-2x))^2}$$
$$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad (\lg(1-2x))’=\frac{-2}{(1-2x)\ln 10}$$
$$y’=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\lg(1-2x)+\frac{2\sqrt{x}}{(1-2x)\ln 10}}{(\lg(1-2x))^2}$$
$$y’=\frac{\ln 10\,(1-2x)\ln(1-2x)+4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\bigl(\ln(1-2x)\bigr)^2}$$
$$y=\frac{x^2}{\ln 5x}$$
$$y’=\frac{(x^2)’\ln 5x-x^2(\ln 5x)’}{(\ln 5x)^2}$$
$$y’=\frac{2x\ln 5x-x^2\cdot \frac{1}{x}}{(\ln 5x)^2} =\frac{x(2\ln 5x-1)}{(\ln 5x)^2}$$
$$y=\frac{\log_3 x^2}{x+1}$$
$$y’=\frac{(\log_3 x^2)'(x+1)-\log_3 x^2}{(x+1)^2}$$
$$(\log_3 x^2)’=\frac{(x^2)’}{x^2\ln 3}=\frac{2}{x\ln 3}$$
$$y’=\frac{\frac{2}{x\ln 3}(x+1)-\log_3 x^2}{(x+1)^2} =\frac{2(x+1)-x\ln 3\cdot \log_3 x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2}$$
Так как $$\ln 3\cdot \log_3 x^2=\ln x^2,$$ то
$$y’=\frac{2(x+1)-x\ln x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2}$$
Ответ:
$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=\frac{3(x^2+1)-2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2};\\ &\text{б) } y’=\frac{\ln 10\,(1-2x)\ln(1-2x)+4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\bigl(\ln(1-2x)\bigr)^2};\\ &\text{в) } y’=\frac{x(2\ln 5x-1)}{(\ln 5x)^2};\\ &\text{г) } y’=\frac{2(x+1)-x\ln x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2}. \end{aligned}$$
