Упр.552 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для касательной к графику функции в точке $$x_0$$ используем формулу:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

1. $$f(x)=\ln(x+1), \quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{x+1}, \quad f'(0)=1, \quad f(0)=\ln 1=0.$$

   Тогда

   $$y=1\cdot(x-0)+0=x.$$

2. $$f(x)=\lg x+2, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}, \quad f'(1)=\frac{1}{\ln 10}, \quad f(1)=\lg 1+2=2.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{\ln 10}(x-1)+2=\frac{x}{\ln 10}-\frac{1}{\ln 10}+2.$$

3. $$f(x)=2\ln x, \quad x_0=e.$$

   $$f'(x)=\frac{2}{x}, \quad f'(e)=\frac{2}{e}, \quad f(e)=2\ln e=2.$$

   Тогда

   $$y=\frac{2}{e}(x-e)+2=\frac{2}{e}x.$$

4. $$f(x)=\log_2(x-1), \quad x_0=2.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln 2}, \quad f'(2)=\frac{1}{\ln 2}, \quad f(2)=\log_2 1=0.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{\ln 2}(x-2)=\frac{x}{\ln 2}-\frac{2}{\ln 2}.$$

Ответ: а) $$y=x$$; б) $$y=\frac{1}{\ln 10}(x-1)+2$$; в) $$y=\frac{2}{e}x$$; г) $$y=\frac{1}{\ln 2}(x-2)$$.