Упр.55 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=(e^(-x)-1)/(x^x+1); б) f(x)=log(a; x+v(x^2+1));
в) f(x)=((x+5)^(2/3)-(x-5)^(2/3))/(x cos(x));
г) f(x)=log(a; (x+1)/(x-1))?

1. а) $$f(x)=\frac{e^{-x}-1}{x^x+1}$$

   Для исследования на чётность нужно, чтобы область определения была симметрична относительно нуля. Здесь выражение $$x^x$$ определено не при всех $$x\in\mathbb{R}$$, а только при тех значениях, для которых имеет смысл степень с переменным основанием и показателем. Кроме того, при замене $$x$$ на $$-x$$ область определения не сохраняется в общем случае.

   Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

2. б) $$f(x)=\log_a\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$

   Найдём значение функции при $$-x$$:

   $$ f(-x)=\log_a\!\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). $$

   Преобразуем аргумент логарифма:

   $$ \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1, $$

   значит

   $$ \sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}. $$

   Тогда

   $$ f(-x)=\log_a\!\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=-\log_a\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=-f(x). $$

   Следовательно, функция нечётная.

3. в) $$f(x)=\frac{\sqrt[3]{(x+5)^2}-\sqrt[3]{(x-5)^2}}{x\cos x}$$

   Область определения задаётся условием

   $$ x\cos x\ne 0, $$

   то есть $$x\ne 0$$ и $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$ Эта область симметрична относительно нуля.

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$ f(-x)=\frac{\sqrt[3]{(-x+5)^2}-\sqrt[3]{(-x-5)^2}}{-x\cos(-x)}. $$

   Так как $$\cos(-x)=\cos x$$, а $$(-x+5)^2=(x-5)^2$$, $$(-x-5)^2=(x+5)^2$$, получаем

   $$ f(-x)=\frac{\sqrt[3]{(x-5)^2}-\sqrt[3]{(x+5)^2}}{-x\cos x} =\frac{\sqrt[3]{(x+5)^2}-\sqrt[3]{(x-5)^2}}{x\cos x}=f(x). $$

   Следовательно, функция чётная.

4. г) $$f(x)=\log_a\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$$

   Найдём область определения:

   $$ \frac{x+1}{x-1}>0. $$

   Отсюда $$x<-1$$ или $$x>1$$. Область определения симметрична относительно нуля.

   Вычислим $$f(-x)$$:

   $$ f(-x)=\log_a\!\left(\frac{-x+1}{-x-1}\right) =\log_a\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right). $$

   Так как

   $$ \frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}}, $$

   то

   $$ f(-x)=\log_a\!\left(\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}}\right) =-\log_a\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right) =-f(x). $$

   Следовательно, функция нечётная.

Ответ

а) ни чётная, ни нечётная; б) нечётная; в) чётная; г) нечётная.